[摘 要] 本文介绍了有关变位螺旋齿轮传动设计的参数计算问题，包括公式的推导和方程组的求解，通过先确定中心距、轴交角等齿轮副啮合参数，然后再设计各齿轮参数来达到了实际设计应用的要求。
关键词 齿轮 轴交角 螺旋 齿轮副 啮合参数
1、前言：
螺旋齿轮传动是用来传递空间两交错轴之间的运动，就其单个齿轮来说，还是斜齿轮，所以，螺旋齿轮传动具有渐开线圆柱齿轮传动的普遍代表性。
在一般技术资料中，如[1][2]，都只分析了标准螺旋齿轮传动，在资料[3]中，也只分析了给定两个齿轮基本参数后，齿轮副的啮合参数的计算，而实际设计中则往往是先确定中心距、轴交角等齿轮副啮合参数，然后再设计各齿轮参数。
2、公式推导过程
下面，将按无侧隙啮合方程式、变位螺旋传动方程组、螺旋传动齿轮参数的顺序来循序分析，以寻找变位螺旋齿轮传动的设计方法。
一、无侧隙啮合方程式
对于螺旋传动的无侧隙啮合的共轭齿轮副，节圆法向齿距和节圆法向齿厚有关系式：
Pn'=Sn1'+Sn2' (以下齿轮几何要素代号均符号GB2821-81)
其中:
πd'
Pn'= ── cosβ' (节圆法向齿距)
Z
d'
Sn'=(St─ - d'(invαt '-invαt ))cosβ' (节圆法向齿厚)
d
πd' d1 '
∴ ──cosβ1 '=(St1 ── - d1 '(invαt1 '-invαt1 ))cosβ1 '
Z1 d1
d2 '
+(St2 ── - d2 '(invαt2 '-invαt2 ))cosβ2 ' ------①
d2
d1 'cosβ1 ' d2 'cosβ2 '
又: Pn1'=Pn2' ∴ ───── = ───── ------②
Z1 Z2
又: St=Sn／cosβ
d=Z*Mn／cosβ
St Sn
∴ ── = ── -------③
d Z*Mn
将②③式代入①中，化简得：
变位螺旋齿轮传动无侧隙啮合方程式：
Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=(Sn1+Sn2)／Mn+Z1*invαt1 +Z2*invαt2 -π
即：Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1+xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2 ----④
二、变位螺旋齿轮传动方程组
对于螺旋齿轮传动副，我们可概括地列出下列方程组：
┏ Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1 +xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2
┫ a'=(d1 '+d2 ')／2 (齿轮无侧隙啮合中心距)
┗ ∑=β1 '±β2 ' (齿轮无侧隙啮合轴交角,螺旋方向相同时取"+")
其中: d'=d*cosαt ／cosαt '
d'
tgβ'=─ tgβ
d
为了求解此方程组，首先来看一看分度圆上端面压力角αt1 、αt2 和节圆上端面压力角αt1 '、αt2 '的关系：
∵ tgαt = tgαn ／cosβ
tgαt1 cosβ2
∴ ─── = ─── -------⑤
tgαt2 cosβ1
sinαt1 ' cosαt1 '*cosβ2 '
∴ ────= ──────── -------⑥
sinαt2 ' cosαt2 '*cosβ1 '
又由②式可得：
Z1 d1 'cosβ1 '
─ = ───── -------⑦
Z2 d2 'cosβ2 '
又∵ d=Z*Mt=Z*Mn／cosβ
Z1 d1 *cosβ1
∴ ─ = ───── -------⑧
Z2 d2 *cosβ2
由⑦⑧式可得：
d1 'cosβ1 ' d1 *cosβ1
─────＝───── -------⑨
d2 'cosβ2 ' d2 *cosβ2
d
又：cosαt '=─ cosαt (节圆端面压力角) -----⑩
d'
由⑤⑥⑨⑩可得：
sinαt1 ／sinαt2 = sinαt1 '／sinαt2 ' ----⑾
对原方程组化简后得：
┏ Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1 +xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2
┃
┃ Z1*Mn*cosαt1 Z2*Mn*cosαt2
┃ 2*a'= ─────── + ───────
┃ cosβ1 *cosαt1 ' cosβ2 *cosαt2 '
┫
┃ cosαt1 *tgβ1 cosαt2 *tgβ2
┃ ∑= arctg(───────)±arctg(───────)
┃ cosαt1 ' cosαt2 '
┃
┗ sinαt1 ／sinαt2 = sinαt1 '／sinαt2 '
在齿轮强度设计、结构设计后，确定了齿数、模数、压力角、中心距和轴交角等参数后，即已知Z1、Z2、Mn、αn 、a'和Σ。在此方程组中，如果再给定一个齿轮的螺旋角β1，即可求出齿轮副总变位系数(xn1+xn2 )和另一个齿轮的螺旋角β2，如果给出总变位系数(xn1+xn2 )，则可求出齿轮的分度圆螺旋角β1 和β2 。
当然，手工的方法是很难求解此方程组的，只有通过计算机采用迭代法才能求解。下面的程序就是借助FORTRAN语言（也可用其它语言）编制的一种迭代求解过程：
* PROGRAM GEAR.FOR
IMPLICIT REAL (I-N)
INTEGER Z1,Z2
INV(X)=TAN(X)-X
DATA …/…/
DATA …/…/
10 B2=B2+XX
20 EXN=EXN+YY
AT1=ATAN(TAN(AN)/COS(B1))
AT2=ATAN(TAN(AN)/COS(B2))
INVAT1=INV(AT1)
INVAT2=INV(AT2)
N=2*EXN*TAN(AN)+Z1*INVAT1+Z2*INVAT2
30 INVAT1P=N/(Z1+Z2*INVAT2/INVAT1)
AT1P=FINV(INVAT1P)
AT2P=ASIN(SIN(AT1P)*SIN(AT2)/SIN(AT1))
IF(ABS(Z1*INVAT1P+Z2*INV(AT2P)-N).GT.1E-5) THEN
INVAT1=INVAT1P
INVAT2=INV(AT2P)
GOTO 30
ENDIF
D1=MN*Z1*COS(AT1)/COS(B1)
D2=MN*Z2*COS(AT2)/COS(B2)
AA=(D1/COS(AT1P)+D2/COS(AT2P))/2
YY=AP-AA
IF(ABS(YY).GT.1E-3) THEN
GOTO 20
ENDIF
B1P=ATAN(TAN(B1)*COS(AT1)/COS(AT1P))
B2P=ATAN(TAN(B2)*COS(AT2)/COS(AT2P))
XX=EB-(B1P+B2P)
IF(ABS(XX).GT.1E-7) THEN
GOTO 10
ENDIF
WRITE(*,*)'Exn=',EXN
WRITE(*,*)'B2 =',B2*180/PI
END
REAL FUNCTION FINV(X)
FINV=(3*X)**(1/3)
100 FF=ATAN(FINV+X)
IF(ABS(FF-FINV).GT.1E-6) THEN
FINV=FF
GOTO 100
ENDIF
END
运用此程序，即可对方程组求解，例如：
┏━━┯━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┳━━━━━━━━━━━━━┓
┃ │ 已 知 ┃ 计 算 结果 ┃
┠──┼─┬─┬──┬───┬────┬─────┬─────╂───── ┬──────┨
┃参数│Z1│Z2│αn │ Mn │ a' │ Σ │ β1 ┃(xn1 +xn2 ) │ β2 ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 1│11│17│20°│ 1 │ 57.5 │ 90° │83°32'53"┃ 0 │ 6°27'07" ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ (右) ┃ │ (右) ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 2│11│16│20°│ 1 │ 57.5 │ 90° │83°32'53"┃ 0.5048 │ 6°23'10" ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ (右) ┃ │ (右) ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 3│27│53│20°│4.2333│169.4753│9°54'29" │ 0° ┃ -0.3617 │ 10° ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ ┃ │ (右) ┃
┠──┼─┼─┼──┼───┼────┼─────┼─────╂──────┼──────┨
┃例 4│27│53│20°│4.2333│ 170.0 │ 10° │ 0° ┃ -0.2502 │ 10°3'47" ┃
┃ │ │ │ │ │ │ │ ┃ │ (右) ┃
┗━━┷━┷━┷━━┷━━━┷━━━━┷━━━━━┷━━━━━┻━━━━━━┷━━━━━━┛
三、螺旋传动各齿轮的参数
在变位齿轮无侧隙啮合传动中，要保证标准顶隙，则齿轮高要减短σ*m，称σ为齿顶高变动系数，那么，变位螺旋齿轮传动中，齿顶高变动系数为多少?
首先来分析分度圆分离系数，设yn 为法面上分度圆分离系数，则：
yn*Mn=a'-a=a'-(d1 +d2 )／2
a' Z1 Z2
∴yn = ─ -(─── + ───)／2 (分度圆分离系数方程式) -------⑿
Mn cosβ1 cosβ2
当两轮作无侧隙啮合时，中心距为：
a'=( d1 +d2 )／2+ yn*Mn= r1 + r2 + yn*Mn -------⒀
又:当两轮保证标准顶隙c= cn * Mn安装时，中心距为：
a"= ra1 +c+ hf2
= r1 + ha1 +c+ r2 - hf2
= r1 + r2 +Mn(han* + xn1 )+ cn* Mn -Mn(han* + cn* - xn2 )
= r1 + r2 +( xn1 + xn2 )Mn -------⒁
由⒀⒁式可得：保证标准顶隙无侧隙啮合时，齿顶高变动系数为：
σn =(a"-a')/Mn=( xn1 + xn2 )- yn -------⒂
所以齿轮的齿顶高为：
ha = han*Mn+ xn*Mn- σn*Mn=( han + xn -σn )Mn
除齿顶高外，齿轮的其余参数均可按参考资料[1][2]中斜齿圆柱齿轮的公式计算。
3、小结
至此，已解决了有关变位螺旋齿轮传动设计的参数计算问题，包括公式的推导和方程组的求解，达到了实际设计应用的要求。值得一提的是：这些公式和计算过程，给定特定的约束，即成了各种圆柱齿轮传动形式的计算公式，如：轴交角为零，则为平行轴的斜齿圆柱齿轮传动；轴交角和螺旋角为零，则为直齿圆柱齿轮传动；轴交角和螺旋角为零，大轮齿数为负和中心距为负，则为内啮合齿轮传动。
