2.2.1.2  运动方程

对于惯性力不可忽略的结构进行分析，要求解运动方程，以获得系统在瞬时状态下的位移和速度、加速度。一般的方法是按照平动和转动的自由度，分别给出运动方程。在有限元中，对于离散化的节点，要相应地给出它的三个平动方程和三个转动方程。

三个平动方程为：

其中i代表节点号，m_i为节点质量，，，为平动加速度，为外力，为变形引起的内力（其中j=1，2，3，分别表示三个坐标轴方向x，y，z）。

三个转动方程为：

其中I_ij为转动惯量，，分别为角速度和角加速度，为外力矩，为变形引起的内力矩。

公式（2-24），（2-25）中的内力分量和可以如下求得：

首先根据虚功原理，在一个单元E内，对节点i有：

其中对i不求和；j代表各方向，对j求和。为单元E的应变率，V是单元体积。

由上述方程可以得到节点内力和节点内弯矩：

利用叠加原理，将每一个单元内的节点上的内力和内弯矩分别求和，可得到节点上的相应分量：

其中，是如下定义的相关系灵敏：

=1      当单元E中的节点A与节点i相关；

=0      当单元E中的节点A与节点i无关。

将方程（2-28）代入方程（2-24）和（2-25），可得到各节点的加速度与角加速度：

对于每一时间步长，由运动方程首先解出各节点的平动加速度，然后根据显式中心差分公式解出各节点速度：

利用位移可以根据几何方程和本构方程求得应变和应力。

2.2.1.3  本构方程

本文研究钢制管道的裂纹扩展。忽略轧制过程的影响，钢材可看作各向同性材料，则本构关系可以写成分段线性弹性的形式。进一步考虑到本文采用节点力释放法进行裂纹扩展计算，裂尖附近的应力集中影响不大，故可采用线弹性本构关系计算。

对于板壳单元，在单元随体坐标下应变和应力均只有三个分量：

2.2.1.4  局部坐标下的边界条件

一般地，可以在边界处约束任意平动与转动分量，即令其为零。如要定义的运动分量不在总体坐标系下，则需在该节点定义局部坐标（X，Y，Z）。计算上可以通过定义X和Y坐标的方向余弦c_xX，c_yX，c_zX，c_xY，c_yY，c_zY来实现。Z坐标的方向余弦可通过其正交性由下式求得：

将上面的转换矩阵定义为[c]，则边界条件中的平动速度可按（2-36）式转化为局部坐标中的分量，转动角速度按下式定义：

然后将被约束的分量置零，求解。求解后的平动速度和转动速度可分别通过（2-36）和（2-37）的逆变换转化成总体坐标中的分量。因为新的角位移量从方程(2-31）和关于b₁的方程直接解得，边界条件通常反映在更新的位移和节点向量b₁中。

2.2.2  断裂动力学基本方程

2.2.2.1  生成模式与扩展模式

在管道裂纹扩展问题中，因动态断裂发生的时间很短，以及裂纹扩展速度的非预先确定性，使得测量高阶的物理量如能量分布、瞬时动态能量释放率和动态裂纹尖端应力场变得十分困难。为此针对管道快速断裂问题发展了两种分析计算模式：生成模式（Generation mode）和扩展模式（Propagation mode）。

生成模式就是给定管道的几何尺寸和工作条件，同时必须给出已知的以裂纹扩展长度或者裂纹速度表示的裂纹扩展历史作为补充条件使得问题可解，从而计算裂纹驱动力G（或CTOA和评估断裂韧度Gd（或（CTOA）c）。

本章计算中的裂纹扩展速度取为定值，该值未必是裂纹稳态扩展的真实速度。然而通过指定不同的速度值，可以寻找对应于某一特定稳态裂纹扩展速度的G或CTOA，如果该值小于材料韧性，可以判断发生止裂；否则可能发生扩展。从而得到一些有价值的结论，例如在什么速度下管道失稳断裂等等。这种分析方法是运用了生成模式。

扩展模式是通过实验测量裂纹速度和压力分布，分析G_d（或（CTOA）），找到它与裂纹速度之间的关系，分析确定产生裂纹扩展需要的驱动力，从而得到一定条件下是否止裂的结论。包括第一章提到的双曲线法和后面提到的韧性减速机理等以实验和结合实验的计算为主的分析方法，就是采用了扩展模式。

2.2.2.2  节点力释放技术

节点力释放（Node Foroe Release)，顾名思义就是当裂纹顶端通过有限元网格中的某节点时，便解除该节点在网格中本来起到的连接作用，即将其分为两个节点，并释放连接力，如图2-4。

在典型的生成模式计算中，可根据指定的a(t）或v(t）判断裂纹经过的时间和路线，依次释放节点力；另一种运用扩展模式的方法是通过判断裂纹顶端被约束的节点力达到F_c时，这个节点便被松弛。这里的F_c是指定的，它与网格尺寸以及动态断裂韧性K_ID有关。Keergstra(1976）证明，对于给定的网格，裂纹顶端的节点力正比于应力强度因子K_ID。

早期将有限元法应用于动态裂纹扩展时，裂尖运动由不连续的突进进行模拟：在时间增量△t内，裂尖沿裂纹方向从单元的一个节点改变到下一个节点。为了得到比较精确的解答，必须采用较小的时间步长△t，通常为膨胀波在两个最近单元节点间传播所需要的时间。由于裂纹传播速度通常明显低于波速，在时间△t内裂尖实际上通常只能运动到两个相邻节点之间的某一位置。在裂尖从一个节点移动到下一个节点的过程中，裂纹长度的突然增加和位移约束的突然解除，将引起有限元求解中比较严重的高频振荡现象。为了克服这一困难，产生了“回复力”法，Lagrange乘子法，节点力释放率法等缓步释放节点的方法,下面介绍本文采用的节点力释放率法。

在生成模式中，输入信息包括作为时间函数的裂纹尖端位置，每一时间步长中裂纹前进的距离是已知的。裂纹沿着单元扩展的过程中单元节点力逐步释放，此时，能量释放率G，即在裂端区每单位面积上裂纹扩展所引起的能量变化，可以近似地以节点力作功的形式表示:

式中，h是管壁厚度，是沿裂纹扩展方向的一个单元长度，△t是裂纹扩展一个单元所用的时间，v_n是垂直裂纹扩展方向的节点位移速度，系数2表示管道对称计算的两个部分。

在公式（2-38）中，F是被释放的约束力，它的大小随着裂纹在单元边界上的位置呈线性变化，表示为：

式中的F_o是被释放的节点约束力，a（t）是裂纹在单元上的扩展长度。指数c曾取过1/2、1、3/2、2等不同取值。本文在与实验对比的基础上取1。

2.2.2.3  裂纹驱动力G的能量表达

能量平衡方法计算裂纹驱动力基于Griffiths断裂理论。在本章的计算程序中，外力作功和内部能量的平衡常被用来校核计算结果的数值稳定性，也可将算得的能量值带入Irwin-Orowan能量平衡公式计算裂纹驱动力。该方法与节点力释放法更为简便。

Griffiths奠定了断裂问题的能量平衡理论。在裂纹扩展过程中，物体内部能量释放所产生的裂纹驱动力导致了裂纹增长，同时存在阻止形成新裂纹面积的阻力，当裂纹增长da长度时，二者形成平衡。这样裂纹驱动力G可以表示为：

式中h表示裂尖处材料厚度，W表示外力作用于裂纹体的功，U表示应变能。

在动裂纹扩展问题中需要考虑动能K的作用，上式扩展为：

早期对流体压力管道裂纹扩展问题的分析中曾应用应变能变分原理，将裂纹动力等效为裂纹前面环向应变能的释放率，Iewin-Conten发展了裂纹驱动力的解析计算：

式中p₀为初始内压，D₀和h为管壁外径和壁厚，E为材料的杨氏模量。

上一页

下一页