2.1.3.3  裂纹尖端张开角

裂纹尖端张开角CTOA（Crack Tip Opening Angle）最早被用来分析核电站管路的稳态裂纹扩展，后来用于输气管线和航空工业。如图2-2，与裂纹张开角COA不同，CTOA对应于一定的断裂扩展状态，不随测量点的位置而改变。CTOA在数学上可以按下式定义：

式中：δ_t为裂纹尖端张开位移，△a为裂纹扩展长度。

2.1.4  材料的动态断裂韧性

作为材料抵抗动态断裂能力的度量，引入韧度的概念，称为动态断裂韧性。具体材料的韧性值由规定条件下的实验测定。

表征材料抗力的动态断裂参数有冲击断裂韧性K_Id，动态能量释放率临界值G_d，动态J积分临界值J_d，裂纹尖端张开角临界值（CTOA)c，甚至包括直接从实验机上获得的夏比冲击功和落锤吸收能量等等，均可以作为判断裂纹扩展与止裂的参数。工程上如何选用要视具体问题与实验条件而定。

动态韧性参数除与静态断裂韧性同样与材料性质，环境温度，应力状态等因素有关以外，同时还与裂纹速度有关。这是本文关心的问题。

裂纹发生快速运动时，一个高应力集中区被驱动穿过材料，因此裂纹顶端附近的材料产生很高的应变速率或加载速率。在一般情形下，高加载速率使得材料变脆，因而抗力降低：另一方面，随着裂纹速度的提高，由于裂纹顶端应力场多轴化程度降低，又增强了塑性效应，从而提高了材料的抗力。另外，快速扩展引起的热耗散使得裂纹顶端附近温度上升，也会影响材料的抗断性能。Eftis,Klaft(1965）和Barton,Mall(1960）等的实验结果表明，动态断裂韧性由裂纹起始扩展的材料抗力开始下降，当裂纹速度达到一定值时，动态断裂韧性又随裂纹速度的增长而提高，表明了前面分析的正确性。

在裂纹稳态扩展阶段，CTOA达到临界值而保持恒定不变，称作（CTOA）c。(CTOA）c可在小试样冲击实验中测得，并直接应用到全尺寸管道的断裂上。在描述断裂性能方面，(CTOA）c是衡量延性断裂扩展抗力的指标之一，它被认为可以替代夏比冲击韧性，以解决在高韧性管线上依赖后者而出现的重大偏差。

Kanninen等（1992）认为，对于动态裂纹扩展问题，G_d和（CTOA)c是最适合的断裂韧性描述参数，如表2-1。

表2-1断裂力学基本处理方法

问题类型	应用范围	裂纹驱动力	断裂韧性
线弹性	小范围塑性屈服>	K	KC
弹塑性	大范围塑性屈服，微小裂纹扩展	J	JR
动态非弹性	大变形，裂纹快速长距离扩展	G，CTOA	Gd,(CTOA)c

2.1.5  运动裂纹的止裂判据

含裂纹结构在动载作用下将发生裂纹的起裂和扩展，导致结构破坏或者发生止裂，产生这些过程的条件称为判据。除了1.2,1节提到过的减压波速判据及在它基础上发展起来的双曲线方法以外，还有应力强度因子K判据，能量释放率G判据和裂纹尖端张开角CTOA判据等。表2-1同样给出了参考性意见。

在止裂条件的建立上，存在两种不同的观点，即动态观点和静态观点。下面用K判据为例介绍一下两种观点的区别和发展，以及本文的选择。

动态观点认为，裂纹的快速扩展直至止裂是一个完整的过程，止裂是这种过程的结束，并忽略惯性力的影响。这样，裂纹持续快速扩展的条件为：

=K_ID（v，T）                  （2-12）

即把裂纹动态扩展断裂韧度K_ID表示成为裂纹速率v和温度T的函数。注意这一条件并不适用于起裂时刻，因为K_ID(O，T)不等于静态韧性K_IC（T）。

按照上面的观点，从止裂发生的t₀时刻一直到裂纹速度降为零的t_a时刻，均应小于扩展断裂韧度K_ID（v，T）的最小值，止裂判据表示为：

这样，通过数值方法解出特定问题的K_I(t)，和材料实验定出的K_ID（v，T）相比较，可以得到是否满足止裂条件的结论。

静态观点着眼于止裂瞬间的裂纹尖端条件，而不顾及已经发生的裂纹动态扩展过程和历史。这样，基于静态观点的止裂判据表示为：

≤K_Ia                     （2-14）

式中是对应于止裂长度的静态应力强度因子，K_Ia是材料的静态断裂韧性。

两种学术观点的争论长达二十多年，并都得到了特定条件下实验结果的证实。直至1985年方达成一致，解释如下：

引起动态效应的主要原因是由于试样边界对应力波的反射，当边界反射的应力波几乎不返回到裂纹尖端的情况下，采用静态观点相对合适；反之应采用动态止裂分析观点。这一结论得到了实验的证明。

压力管道尤其是高压输气管道上的裂纹扩展是强几何非线性的过程，同时不断伴随应力波的传播与反射，因而本文在分析裂纹扩展与止裂时用了动裂纹约束的概念（动态观点）。根据这一概念，裂纹止裂就是使裂纹不能连续扩展。现将本文用到的以G和CTOA建立的动态判据分述如下：

对于天然气管道，能量释放率判据可以表示为:

G(a,p,D,SDR,E)=G_d(T,v,h)                     (2-15)

式（2-15）中，当G_max=G_d时，裂纹扩展；若G<G_dmin，裂纹止裂。G表示裂纹驱动力，G_d表示材料的动态断裂韧性，a为裂纹长度，p为流体压力，D为管道直径，SDR(Standard Dimension Ratio）为管道外直径与壁厚的比值，E为材料的杨氏模量，T为温度，v为裂纹扩展速率，h为试样壁厚。

为了防止裂纹在工程管道上扩展事故的发生，G和G_d的相对值为实际应用准则提供了定量的形式。G来源于对结构模型的分析和计算，而G_d要通过对结构材料的实验来分析确定。

类似的，在管道延性裂纹扩展过程中，表征裂纹驱动力的（CTOA）_max与表征管壁断裂韧性（CTOA）c构成止裂判据：

（CTOA）_max（a,p,D,SDR,E）=（CTOA）c（T,v,h）          （2-16）

当（CTOA）_max ≥(CTOA）c时，裂纹扩展；若（CTOA）_max＜(CTOA）c，则裂纹止裂。

2.2  断裂动力学的有限元法

管道裂纹动态扩展问题的关键是正确描述管道的实际工作状态。断裂动力学问题的复杂性和目前的研究深度决定了分析解法的求解必须对加载形式、材料参数、裂纹几何和运动状态作很多限制，因而本文以有限元方法为主，在表征韧性的参数确定和计算结果参照中引入实验手段，在试件比拟的塑性区范围确定等处用到了解析方法。

断裂动力学中的有限元法分为动力学分析和断裂分析两方面。在动力学分析中要考虑材料的惯性效应，在动态变化的载荷下求解运动方程；在断裂分析方面，要考虑裂纹尖端场的性质，以及裂纹扩展引起的边界变化等。下面分别从这两方面介绍本文计算中用到的有限元技术及相关处理方法。

2.2.1  壳体结构动力学基本方程

壳体有限元计算的一般思路是在单元内描述问题，再根据节点集合。在描述几何方程和运动方程之前，首先说明符号的格式。本节将用到矢量符号、矩阵符号和上下标。矢量符号通过黑体表示，如a，它的分量表示为：ai，也可以以矩阵｛a｝的形式表示。a_iI是节点I的a矢量的第i个分量。

在本节中，将会用到图2-3所示的三种坐标系：

●空间固定的总体坐标系（x，y，z），或x_i，正交基矢量为。

●节点坐标系行（，，），反映节点的平动与转动；正交基矢量为b_i。

●单元随体坐标系（，，）；正交基矢量为e_i。

对于总体坐标系中的任意矢量a，其在节点坐标系中的分量可以表达为：

其中，b_xl，b_yi，b_zl是节点基矢量b_i在总体坐标系中的三个分量。

类似地，对于单元随体坐标系：

其中[b]^T、[e]^T分别是总体坐标与节点坐标、总体坐标与单元随体坐标之间的转换矩阵。

节点J的初始位置为：（i=1，2，3代表x，y，z三个方向的分量），当发生了位移u_iJ后，新的位置坐标为x_iJ。

x_iJ=+u_iJ                                 （2-19）

2.2.1.1  几何方程

基于Kirchhoff假设的板壳单元，壳体中某一点的应变，，可以由中面应变，，和曲率，，来表示：

其中[N^P]为壳体面内位移形函数，[N^b]为壳体弯曲位移形函数。[δ^P]、[δ^b]是相应的节点位移。

将方程（2-22）代入（2-21），得到

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