第2章 齿轮故障振动的研究
齿轮是机械传动系统的主要部件，它已被广泛地应用在旋转机械及动力传输装置中。齿轮在进行啮合传动时，由于外载荷变化、齿轮加工误差、齿轮啮合刚度的时变性及啮合冲击等因素的影响，齿轮将产生振动。齿轮在振动时构成一个线性时变或非线性时变系统。齿轮在传动过程中，随着齿面磨损的扩展，齿轮的齿形误差、基节误差和齿侧间隙也将增加。齿轮齿侧间隙对齿轮振动特性影响的研究，国外起始于1967年K Nakamura的研究，主要利用数值仿真从时域分析研究了齿轮系统的振动特性。近年来国外A Kahlarman等学者从频域上研究了一定齿侧间隙对齿轮幅频特性的影响，并从实验上验证了当存在齿轮侧隙时，一个齿轮-传动轴-支撑轴承系统会产生亚谐和超谐共振。本章在建立齿轮振动微分方程的基础上，用变步长Runge-Kutta法求出了存在间隙时齿轮振动的时程响应的数值解，并用FFT方法求出时程响应的幅值谱，对在非共振情况下齿轮侧隙和载荷的变化对齿轮振动频率的影响进行了研究。研究结果表明，齿侧间隙的变化对齿轮的振动故障频率成份有很大的影响；齿侧间隙的值一定时，如果齿轮的工作转速和工作载荷发生改变时，齿轮的振动故障频率成份也有改变。该结果对齿轮的故障诊断和齿轮传动系统动态设计有重要的意义。
此外，本章还对齿轮偏心质量对齿轮扭转振动的影响进行了分析研究，并分析了频谱特征。
2.1 齿轮振动力学模型及啮合力分析
设有一对齿轮传动，齿轮1为主动齿轮，齿轮2为从动齿轮，它们分别有一偏心质量ml和m2，振动力学模型见图2-l。设主动齿轮的扭转振动角位移、角速度、角加速度和旋转角速度分别为
、
、
和ω1，从动齿轮的扭转振动角位移、角速度、角加速度和旋转角速度分别为
、
、
和ω2，则有ω1=iω2(i为齿轮传动比）。
为了研究问题的方便，特作如下假设：
(l）齿轮的支撑轴又短又粗，近似为刚性轴，故不考虑其横向振动及扭转振动；
(2）滚动轴承刚度较大，作为刚性支撑处理并忽略轴及轴承的阻尼。
作用在主、从动齿轮的力矩分析如下：
（1）作用在主动齿轮上的驱动力矩T1（t）是常数，即T1（t）=C；而作用在从动齿轮上的工作阻力矩T2（t）可看作一个恒量Tm与幅值为TaT简弦变量之和：
T2（t）=Tm+TaTsin（ωTt+фT） （2-1）
式中ωT、фT-分别为从动齿轮上的工作阻力矩T2（t）变化圆频率和初始相位角。
图2-1中，rb1——主动齿轮基圆半径；rb2——从动齿轮基圆半径；K（t）——齿轮啮合刚度；e1——主动齿轮偏心距；e2——从动齿轮偏心距；β1——主动齿轮不平衡质量的初始角度；β2——从动齿轮不平衡质量的初始角度；δ（t）——齿轮的综合误差；JD1——主动齿轮转动惯量；JD2——从动齿轮转动惯量；C（t）——齿轮阻尼系数；b——齿侧间隙；n-n——齿轮啮合线方向。
（2）作用在主、从动齿轮间的动态啮合力及啮合力矩
i）当不考虑齿侧间隙时，动态啮合力：
Pn=K（t）[X-δ（t）] （2-2）
式中X=rb1tgθ1-rb2tgθ2为主、从动齿轮间的相对振动位移；K（t）为齿轮啮合刚度，近似视为矩形波，可展为富氏级数：
式中：ε——重合度；ωmeh——齿轮啮合频率；Kn——齿轮刚度谐波项；K1——单对齿啮合刚度；K2——两对齿啮合刚度；Ψn——齿轮刚度谐波项相位。
一对齿轮的综合误差δ（t）也可展为富氏级数：
式中：δn——齿轮误差谐波系数；
——齿轮误差谐波项相比；
啮合力矩Pnrbi （i=1，2）
ii）当考虑齿侧间隙时，动态啮合力：
Pn= K（t）f（rb1tgθ1- rb2tgθ2-δ（t））= K（t）f（t） （2-8）
其中f（t）为分段非线性函数，可表示为如下形式：
（3）阻尼力矩：
C（t）（
-
（t））rb1 （i=1，2）（不考虑齿侧间隙） （2-10）
或C（t）f′（t）rb1 （i=1，2）（考虑齿侧间隙） （2-11）
其中：齿轮阻尼系数C（t）=2
，mred——啮合齿轮当量质量。阻尼比
根据图2-2取值。阻尼系数C（t）也可根据下列公式取值：
式中：e——中间变量：V为齿面间相对滑动速度。
（4）由不平衡质量即偏心质量造成的附加力（啮合力方向）：
2.2 齿轮振动动力学方程
根据上节单级齿轮系统的受力分析，可得θ1、θ2两自由度主从动齿轮振动微分方程：
式中
。很明显，由于θ，
，
前面的系数和时变刚度K（t）、非线性函数f（t）及θ，
有关，不是常数，故方程组（2-14）是一个非线性时方程组。
2.3 方程数值解法及齿轮齿侧间隙的振动频谱特征
当不考虑偏心质量，而只考虑存在齿轮齿侧间隙时，方程组（2-14）可化为：
由于上式是一个非线性时变方程组，它的理论解无法得出，故采用数值解法求解。为了便于计算，将方程组（2-15）转化到状态空间中，将方程组表达成：
=fi（Z1，Z2，Z3，Z4），i=1，2，3，4，则原方程组可表达成：
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