3.2.1 齿轮系统有限元模型的建立
通常，实际工程结构都是质量、刚度和阻尼连续分布的连续系统，其动力学特性常常用偏微分方程组描述，但由于实际结构的几何形状及边界条件复杂，难以用解析法求解偏微分方程组。于是，通常对实际工程结构离散化，将连续分布参数系统简化为具有有限多个自由度的集中参数系统。用矩阵表达式对每个单元进行单元分析，根据虚位移原理建立单元的动态平衡方程式；然后，作整体分析，得到整个结构系统的动力学方程式。应用自由振动边界条件，得到由有限元法计算整个结构系统固有振动特性的基本方程。这样，通过离散化模型，可将复杂的偏微分方程组简化为可以求解的常微分方程组，从而使问题的求解大大简化。如前所述，双环减速器结构运动特性复杂，既有旋转齿轮运动，又有连杆平面运动，根据这一具体情况，本文用集中参数法建立了该传动系统的弯——扭耦合振动的动力学分析模型。对箱体建立了有限元分析模型，该有限元模型的建立是用SDRC公司的I-Deas大型集成化软件完成，并在此基础上进行动力学响应分析计算。当进行系统的模态计算时，为了模型建立的方便，则将齿轮轮齿部分简化为分度圆柱，将齿轮和轮毅及轮毅与轴的紧配合联接看成刚性联接，忽略键槽、倒角和退刀槽的影响，利用自由网格划分法（Free Meshing）对齿轮进行有限元网格划分。图3.17为输出齿轮轴的结构示意图，齿轮的有关参数见表2.1。物理参数为：弹性模量E=2.06×l011N/m2，泊松比为0.3, 材料密度p=7.8×103kg/m3。

采用四节点四面体单元，利用软件自由网格划分法（Free Meshing ）对输出齿轮轴进行有限元网格划分。减速箱的其它零件采用相同的方法进行有限元建模，图3.18为输出齿轮轴的有限元网格模型共划分为3021个单元，835个节点，图3.19为偏心轴的有限元网格模型，共划分为4098个单元，1188个节点，图3.20 为环板的有限元网格模型，共划分为1505个单元，594个节点。

双环减速器箱体是用铸铁铸造而成，不考虑或对分析影响甚微的结构特征，如小孔、园角、倒角、螺栓孔等，在进行减速箱实体建模时，忽略上述因素的影响，同时将箱盖与箱体合为一体，而齿轮箱与前后端盖、轴承组合而成，结构比较复杂，建模时不考虑顶盖与箱体、前后端盖、轴承与箱体的接合部的影响。轴承采用相同尺寸的圆环套，而其材料性质用具有与轴承等效刚度相同的材料参数，这些处理不会对齿轮箱体的重量及刚度产生大的影响，完全能保证足够的计算精度。用自由网格划分方法（Free Meshing)，采用八节点四面体单元划分网格，图3.21为所建立的齿轮箱有限元模型网格，节点数为8761，单元数为28286。前面分别建立了齿轮系统主要零件和箱体的有限元网格，将简化后的轴承用相同的方法进行有限元网格划分，再用I-DEAS软件的APPED命令将齿轮系统的各零部件集成为整个系统的有限元网格模型，如图3.22 所示。

齿轮系统整个模型的单元数为112072，节点数为66120。
划分有限元网格后，还必须对整个网格模型进行检查，从而保证计算结果的真实性和准确性。首先检查自由单元边，当单元的某一边不在其它单元之内时，称为自由单元边。在复杂模型的建立过程中，通过拉伸旋转等操作产生的各个部件，有时会没有连接在一起，这将导致有限元模型开裂，影响计算结果，严重时将使计算失败。其次检查重复单元、重复节点，根据情况决定是否将它们合并在一起。最后检查单元的形状参数，过度扭曲的单元将影响计算，必须并将其修改为可以接受的形状。
3.2.2 齿轮系统有限元模态分析
结构模态是振动系统特性的一种表征。一般来说，模态参数包括固有频率、固有振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等，但其中最重要的是前两项。模态参数将表明在哪几种频率下结构会产生共振以及在各阶频率下结构的相对变形，对于改善结构的动态特性，这是最重要的基本参数。

通常，结构的前几阶固有频率较低，对结构的动力学特性影响较大，所以分析时只提取齿轮系统结构的前20阶固有频率及其对应的振型便能满足工程需要。为了能反映箱体的实际情况，在进行模态分析时将箱体底座z方向约束，地脚螺栓处用固定约束，研究系统的约束模态。利用I-DEAS软件的固有模态求解模块求解模型的固有频率和固有振型的方法有：Lanczos法、Guyan Reduction法和同步向量迭代法（Simultaneous vecto: Iteraron,SVI）。Guyan法是决动力学问题的一种古典方法，但计算结果的精度在很大程度上取决于模型中的主自由度的选取。SVI法的精度不取决于用户的判断，但通常计算时间比Guyan法要长。一般求结构的固有频率和固有振型时用Lanczos法，Lanczos法是近年来新兴的一种模态求解方法，其特征值、特征向量求解精度高。它的计算速度比另两种方法快，不需要选取“主自由度”，且要求的输入数据较少。Lanczos法使用Stunn序列检查，在用户感兴趣的频率范围内，在每个漂移点处如果不能找到所有的特征根，Lanczos法会给出提示信息，以避免漏根和引入不可能的根。用Lanczos法求解特征值和特征向量时，先根据载荷空间分布模式按一定规律生成一组相互正交的Lanezos向量，在将系统运动方程转换到这组Lanczos向量空间以后，对运动方程进行缩减，然后通。过求解一次缩减了的运动方程的特征值问题，再经过坐标系的变换，进而就可得到原系统的部分特征解，从而避免了一般算法如反迭代法或子空间迭代法中的多次迭代步骤，因而，显著提高了求解效率。Lanczos方法适应面广泛，可适用于所有的大中型结构问题，并都能给出很好的结果。

与其它特征值问题求解方法一样，Lanczos算法的主要目的是求解结构系统的动力学方程。

从而使对A的特征值求解转化为对T 的求解。由此可见，Lanczos算法的最大优点是其所得的三对角阵T的特征解直接近似于原矩阵A中r个特征根。因此，对于仅需求解部分模态解的大型结构问题，Lanczos法可以在子空间内非常快速有效地求解。本课题对系统各主要零部件及整体系统固有特性的求解就采用了这种方法。
如图3.22 所示的齿轮系统有限元模型，根据实际的安装情况，为了能比较准确地反映实际状态，箱体的边界条件为：箱体底座垂直方向约束，四个螺栓孔处全部固定约束。则研究齿轮系统的约束模态，表3.14～3.15分别为用I-Deas软件的Lanczos模态求解法计算得到的各重要零部件及齿轮系统前上10阶固有频率和响应的振型情况。限于篇幅，图3.23给出了齿轮系统的前十阶固有振型。
表3.14 ??齿轮系统前10阶固有频率和振型

模型	固有频率（Hz）	振型特征
1	974.3714	箱体横向（y向）弯曲
2	1219.1347	箱体横向（x向）弯曲
3	1575.9162	输入轴输出轴弯曲+箱体扭摆
4	1690.4077	箱体底面向内凹陷
5	1733.7038	输入轴输出轴向下弯曲
6	1738.6459	输出轴输出轴弯向上弯曲
7	1871.7482	输入轴输出轴水平弯曲
8	2345.6277	箱体两边膨胀中间向下凹陷
9	2657.8228	环板扭摆
10	2706.0426	输入轴输出轴弯曲向上弯曲+箱体扭弯

表3.15 零件前10阶固有频率

模态	固有频率（Hz）
	环板	输出轴	偏心轴	输入轴	箱体
1	1097.70	3004.30	2037.79	4538.75	890.79
2	1490.23	3021.40	2039.17	4542.69	1317.35
3	2355.64	6231.67	5118.85	10006.96	1428.24
4	2638.10	7985.83	5126.75	10326.25	1510.36
5	2977.05	8009.92	5590.44	10329.09	1681.76
6	3034.42	9210.48	8503.90	15266.32	1725.52
7	3457.06	13634.45	8939.29	18645.97	1761.74
8	3754.52	13704.50	8961.50	18668.88	2010.17
9	4296.74	14793.46	11425.93	19068.83	2021.84
10	4781.41	15484.25	13581.56	27836.97	2059.41

3.3 本章小结
在分析误差对直齿内啮合传动重合度的影响分析的基础上，考虑部分制造误差及安装的影响，对环板内齿的啮合传动，建立了考虑误差的环板内齿接触有限元模型，并按不同的误差状态，组合成十种不同的工况，对不同的工况分别建立了有限元接触分析计算模型，通过计算结果分析讨论了误差及载荷变化的对齿轮接触齿对的影响，指出了因载荷不均造成的减速器振动因素。
1）在双环减速器齿轮系统的制造、安装误差中，齿轮侧隙的误差对齿轮重合度的影响大于中心距误差对重合度的影响。而对于齿侧隙的误差大小重要是由于齿轮变位系数的变化造成的。即齿轮变位系数的误差对齿轮重合度的影响大于中心距误差对重合度的影响。
2）对于两环板与输出齿轮的传动，如果两环板对于输出齿轮中心不对称，即当两偏心轴上的两偏心曲拐的误差不一致时，将产生两环板严重的载荷不均现象。这是双环减速器产生振动故障的重要因素。

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