2.2.4 半齿轮联轴器的刚度主要与内外齿轮齿对的刚度以及轮齿的位置有关[34]。不计轮体的变形。齿对刚度KT=l/q，其中q为内齿、外齿柔度之和，计算可采用式（2.21）。
（1）横向刚度系数kl
设在ξ方向给小位移△ξ，见图2.6，则弹性位移为dsi=△ξ|cos（θi-α）|，产生的弹性力Fsi=KTdsi
式中 θi=2iπ/n
α—压力角
n—齿数
（2）转角刚度系数ka
在外载荷较大时，则齿轮联轴器内外齿面之间接触良好。设齿面上的载荷是线性分布，其集度分别为q1、q2，如图2.7所示。在绕η方向给一小转角△δ，则在第i个齿对产生的扭矩为Mηi。b是稳态时内外齿之间的有效接触齿宽。
由式（2.28）可见，半齿轮联轴器系统的转角刚度ka与接触齿宽b的平方成正比。转子系统在振动时，接触齿宽b会随内外齿轮间的相对转角而发生变化，因此转角刚度是转角的非线性函数。但在稳态和小振动的前提下，可以进行线性化处理。如果在载荷较轻时，齿面间的接触不紧密，可采用Marmol模型，见图2.8。
Marmol的转角刚度模型[34]为
*注：（2.28b）式在文献[34]中推导有误。
（3）扭转刚度系数kt
设绕z方向给一小扭转角△θ，如图2.9所示，则在第i对齿对上产生的扭矩为△Mci，设rp为节圆半径。则有
2.4.3 半齿轮联轴器的阻尼
齿轮联轴器中的阻尼主要是由于内外齿面之间的滑动摩擦力产生，工作时在其中注满润滑油，以减小齿面间的摩擦。在转子动力学中，由摩擦而产生的阻尼大多采用等效粘性阻尼的方法来计算[34]，即一周内向接触面上的摩擦力消耗的能量等于等效粘性阻尼在同一周内所消耗的能量。齿轮联轴器在振动时，内外齿轮轴线将发生涡动，而不是在一个横向平面内振动，因此每个接触的齿对间均要发生摩擦，并假设各个齿对情况相同。
（1）横向阻尼系数cl
设内、外齿轮轴线间有一相对横向振幅δ0，如图2.10所示，则第i对齿面相对滑动的位移为δi=δ0/cosα，齿面滑动摩擦力为Ff=fT/rpncosα，其中f为齿面间的滑动摩擦系数，第i对齿对上的摩擦力消耗的能量为Ei=4Ffδi
式中 ω为振动角速度
上式分母中的系数2是因为转动一周要在ξ，η两个方向均要消耗能量。
（2）转角阻尼系数ca
设内、外齿轮轴线间有一相对转角振幅ε0，如图2.11所示，在齿z处dz上的摩擦力
，此处的位移为zε0/cosα。
第i对齿对上的摩擦力消耗的能量
（3）扭转阻尼系数ct
设内、外齿轮有一相对扭转振幅θ0，如图2.12所示，则第i对齿面间相对滑动位移为δi=rpθ0sinα。第i对齿对上的摩擦力消耗的能量为
以上建立了齿轮联轴器的刚度和等效粘性阻尼系数。
2.5 作用在齿轮联轴器上弯矩的实验研究
山内进吾等[31]对作用于鼓形齿轮联轴器上的弯矩（Mx-φ）进行了实测，对直齿联轴器却没有论及。而目前在实际的高速转子系统（例如在DH型和大化肥用透平压缩机组）中主要采用的是直齿联轴器。在后面的分析计算中，我们将发现齿轮联轴器的转角刚度对系统的影响较大，因此有必要对其进行实验研究。通过对作用于齿轮联轴器上弯矩的测试结果，来判断齿轮联轴器转角刚度的大小，这样可以在实际系统的动力学计算中，结合理论分析对联轴器的动力特性作出比较合理的选择。为此我们设计了如图2.13所示的试验装置，取二个齿轮联轴器，其中一个为直齿联轴器（内齿套、外齿轮均为直齿），另一个为鼓形齿联轴器（内齿套为直齿、外齿轮为鼓形齿）。对这二种齿轮联轴器分别测量其FMx-φ的变化关系。通过这个关系可以判定内外齿之间的有效接触齿宽及联轴器的转角刚度。
2.5.1 测试系统简介
齿轮联轴器的内齿套固定在一个三爪卡盘上，联轴器的外齿轮插入内齿套与之相啮合。采用3个电涡流传感器，传感器的布置见图2.13，试验台的实拍照片见图2.14。中间轴的一端与外齿轮固接，而另一端则用于施加扭矩和施加绕X方向的弯矩。扭矩和弯矩的大小由法码的重量和杆或轴的长度来确定。作用于联轴器上的扭矩
T=P·L1 （2.36）
式中 P为扭矩加载中法码的重量，L1为杆的长。
作用于联轴器上的弯矩
Mx=F·L2 （2.37）
式中 F为弯矩加载中法码的重量，L2为中间轴的长度。
在实验时通过改变法码的重量P和F的大小来控制扭矩和弯矩的变化。这样再经过传感器、显示器等可以得到各测点在z方向的位移z，测点的位移变化
△z=z-z0 （2.38）
式中 z0为测点在z方向的初始位移。
由于齿轮联轴器的转角位移变化△φ较小，故有
△φ≈△z/rp （2.39）
齿轮联轴器的转角位移
φ=φ0+△φ （2.40）
式中 φ0为齿轮联轴器的初始转角位移
根据作用于外齿轮上的弯矩和在内齿套测点处的转角，就可以作出在某一工况下Mx-φ的关系曲线，进而可以求出齿轮联轴器在该工况下的转角刚度。
2.5.2 测试结果及分析
试验用齿轮联轴器参数如下：
直齿齿轮联轴器：模数m=2.0mm；齿数n=20；实际齿宽B=15mm；压力角α=20°。选择二种扭矩工况进行测试T1=4.0kg·m，T2=5.5kg·m。
鼓形齿齿轮联轴器：模数m=2.0mm；齿数n=20；实际齿宽B=15mm；压力角α=20°。鼓形量为96；选择二种扭矩工况进行测试T1=3.0kg·m，T2=5.5kg·m。
直齿联轴器和鼓形齿联轴器的测量结果，Mx-φ的关系曲线分别见图2.15和图2.16。横坐标为齿轮联轴器内外齿轮相对转角位移，纵坐标为绕X轴的弯矩Mx。
（1）从Mx-φ之间的关系图来看不论是直齿联轴器还是鼓形齿联轴器都明显存在迟滞现象，即在某一处扭矩作用下，弯矩Mx从加载→卸载→反向加载→反向卸载的过程，Mx-φ之间形成一条有规律的封闭曲线，这主要是在加载和卸载的过程中由于齿面间的摩擦力方向的改变所造成的，在山内进吾[31]的实验中也明显存在。在同一扭矩作用下，直齿联轴器进行了二个从加载到卸载的过程，鼓形齿联轴器则进行了四个这样的过程。由实验结果来看，就总体而言重复性较好。
（2）随着弯矩Mx的增大，转角φ增大。对于直齿联轴器而言，Mx-φ的关系是非线性的；对于鼓形齿联轴器来说，Mx-φ的关系可以近似看成为线性的。从理论上来看，之所以出现这样的现象是因为鼓形齿联轴器内外齿面间的有效接触宽度对转角的变化不敏感，而直齿联轴器则比较敏感。由于作用在联轴器上的扭矩较小，因此内外齿间可能出现跨齿接触情况，当转角φ增大时，接触齿宽增大，转角刚度也增大，从而造成直齿联轴器Mx-φ之间的关系是非线性的。
（3）比较图2.15a和2.15b、图2.16a和2.16b可知。随扭矩T的增大，迟滞回线所围的面积增大，表明在同一周内齿面间的摩擦力（力矩）随扭矩T而增大，这与实际情况相符。
（4）由上面的实验结果来看，不论是直齿联轴器还是鼓形齿联轴器，在一定的条件下，联轴器所产生的弯矩Mx不大，这从另一个侧面反应了齿面之间的有效接触齿宽是比较小的。
（5）对鼓形齿联轴器在加载阶段转的平均转角刚度ka进行了计算，结果如下：在T=3.07kg·m时，ka≈9.2×104kg·mm；在T=5.50gk·m时，ka≈1.1×105kg·mm。对于直齿联轴器Mx-φ的关系呈现出非线性，转角刚度ka即为曲线的斜率，从图2.15可知转角刚度ka是变化的。在转角取大值时，ka值较大；在转角取小值时，ka值比较小。为了便于比较，在此对文献[31]中（其中参数为：鼓形齿轮联轴器模数为2.5，齿数为35，T=15.0kg·m，鼓形量为113～140微米）的测试结果也进行了计算，结果为ka≈9.1×105kg·mm，造成二者结果的差距主要是外载荷和由于齿轮结构参数的不同而引起齿对刚度具有相当大的差别，但从总体来说这一转转角刚度的数量级不大。因此在实际系统的动力学分析中，齿轮联轴器的转角刚度应取一小量。
2.6 小结
首先根据内啮合的特点，本章提出了适合内啮合齿轮轮齿变形和刚度计算的二梯形当量齿形法，导出了上下二个梯形的弯曲变形、剪切变形、由轮齿基体的弹性倾斜所引起的轮齿变形以及轮齿材料整体压缩变形的计算公式，并将其应用到齿轮联轴器的刚度分析中，通过实例计算和有限元法分析，结果表明用二梯形当量齿形法来计算齿轮联轴器齿对的刚度具有良好的精度，能满足工程计算要求。然后对齿轮联轴器进行了受力分析，根据几个基本的假设，用横向刚度、转角刚度、扭转刚度、横向阻尼、转角阻尼和扭转阻尼这六个动力系数来刻划齿轮联轴器的动力学行为。最后通过对作用于直齿和鼓形齿这二种联轴器上的弯矩进行了实测。研究结果显示对于鼓形齿齿轮联轴器而言转角与弯矩近似为线性关系，而对于直齿齿轮联轴器这一关系则是非线性的。但就总体页言在外载荷和转角均较小时，联轴器上作用的弯矩和转角刚度均不大。
上一页
下一页
