第二章  管道稳态裂纹扩展模拟

2.1  断裂动力学理论简述

断裂力学学科的先导者是A.A.Griffith，他在1920年首先提出将裂纹临界扩展的判据与裂纹的长度定量地联系在一起，建立起脆断理论的基本框架。断裂力学的蓬勃发展则以1948年Irwin和Orowan分别独立建立的工程材料脆性断裂理论为标志。

作为断裂力学的一个重要分支，断裂动力学诞生的标志是1948年英国物理学家N.F.Mott在Griffith理论中考虑动能的影响后所发表的论文。1951年印度女科学家Elizabeth Yoffe最早给出了运动Griffith裂纹的解析解。然而断裂动力学中最重要基本概念的提出，系统分析方法的形成，以及相对成熟的实验研究方法的建立，是20世纪80年代以来的研究成果。本文的主旨是用数值模拟和实验方法解决管道动态断裂评估问题。

2.1.1  静止裂纹与动态扩展

断裂力学认为在结构中不可避免有类似裂纹的缺陷存在。在小变形、低能量耗散的情况下，可看作脆性断裂；对于大变形、高能量耗散的情况则按延性断裂来处理。受应力集中影响，除去理想脆性材料外，外加载荷在裂纹尖端附近均伴随非弹性区。若该区域尺寸与其他特征尺寸相比为小量，则可以用线弹性断裂力学处理。裂纹根据加载方式的不同可分为三种模型：张开模式（I型）；滑开模式（Ⅱ型）；撕开模式（Ⅲ型）。本文讨论的范围限于I型裂纹。

在断裂力学中，定义引起裂纹产生单位长度的扩展所需要的能量为裂纹驱动力G。在平面问题中，G与应力强度因子K_c的关系可以表达为：

对于平面应力问题，E′=E；对于平面应变问题，E′=E/（1-v²）。其中，E是材料的杨氏模量，v为泊松比。

断裂动力学（FractUre Dynamics）也叫做动态断裂力学（Dynamic Fracture Mechanics)，其目的是研究那些惯性效应不能忽略的断裂力学问题。这些问题主要归纳为两大类：一是裂纹稳定而外力随时间迅速变化，如振动、冲击、波动等：二是外力恒定或缓漫变化而裂纹发生快速传播。这两类断裂动力学的问题分别称为裂纹动态起始问题和运动裂纹问题。

运动裂纹问题从现象上看可以分为前期加速，扩展轨迹，扩展速度，分叉和止裂几方面问题。本文研究裂纹从快速扩展开始直至止裂的过程。

2.1.2  裂纹扩展的极限速度

输气管道上的脆性裂纹扩展速度曾经达到过10³m/s的量级。通过改善钢材韧性，降低韧脆转换温度等办法，裂纹扩展的主要形式由脆性断裂转化为延性断裂，裂纹扩展速度也有大幅度的下降。伴随着超高压管道上的裂纹扩展，近年来的实测速度又有上升。

对于本文的裂纹动态模拟和止裂评估，裂纹扩展速度是关键变化量。那么裂纹扩展存在极限速度吗？如果存在，如何量化？本小节旨在探讨这方面的内容。尤其针对输气管道上的应用，文中给出了大致的估算。

1948年Mott认为快速裂纹扩展过程中的动能作用不可忽略。考虑无穷大弹性板中的裂纹扩展，加入动能项的能量平衡方程为：

式中a为半个裂纹长度，U为弹性应变能，K为动能，Γ为表面能。

在推导动能表达式的过程中，Mott引入以下假定:

●围绕裂纹尖端区域的应力场、位移场，可由静态弹性理论确定；

●裂纹扩展速度远小于柱形杆纵波速度C_o=；

●裂纹扩展阻力不随裂纹速度变化而改变。

在上述假定的前提下，得到无限大弹性板中的动能表达式:

式中k是待定的比例系数，p为密度，v为裂纹扩展速率，σ为无穷远处承受的均匀拉伸应力，E为材料的杨氏模量。

对于无限大板中的裂纹而言，应变能U和表面能Γ的表达式同静态情况相比没有形式上的改变。将三种能量的表达式代入能量平衡方程（2-2)，可得：

将单位面积的表面能γ用表示为临界裂纹长度a_c的形式，经过Berry等人的修正，得到裂纹速度的表达式:

Roberts(1954）用数值方法计算了泊松比v=0.25时的系数＝0.38,从而得到钢材中的极限裂速v_m≈1929m/s。

在双悬臂梁DCB(double-Cantilever-Beam）试样中测到的结果比上述值略低，约为1500m/s。

Freund(1972）通过分析推导，认为裂纹的极限裂速v_m，应该等于Rayleigh波速C_R。按此方法估算，v=0.25时钢材中的极限裂速v_m=294m/s。

根据Rice(2000）通过奇异裂纹模型做出的最新论断，在典型的远场加载条件下，在I型和Ⅱ型时的极限速度为Rayleigh波速，而在Ⅲ型时的极限速度可达横波波速，对钢材而言约3100m/s。

Rice总结了I型拉伸裂纹的实验观测结果，发现:

●在脆性非晶态材料（如玻璃、PMMA）中，裂纹速度的上限为0.55C_R～0.65C_R;

●裂纹速度v<0.3C_R～0.4C_R时，断裂面呈镜面光滑状。在更高（平均）速度时，裂纹表面变得非常粗糙，并且v开始剧烈振荡；

●存在v接近于CR的例外情况，如高度各向异性的脆性单晶（钨、云母）,及不完全烧结的固体。

这一结果同钢材断裂从DBF到DDF的发展过程中，实测速度与断口形貌的变化趋势相吻合。简单的说，就是韧性提高可以导致断裂的极限速度降低。

压力管道的裂纹扩展与无限大弹性板不同，Kanninen等（1980）利用类似一维梁的模型提出了输气管道中的裂纹扩展极限速度的估算值。模型中采用弹性基础梁的挠度模拟在对称载荷作用下圆柱壳的变形，并作了以下基本假设：

●以径向变形为主；

●压力沿圆周的变化可以忽略不计；

●裂纹张开位移等于在裂纹区任何截面径向位移沿圆周的积分；

●塑性屈服铰在裂尖后部形成；

●裂纹扩展速度超过流体降压速度，扩展中裂尖后面的压力为零；

●由于裂纹出现导致壳体刚度突变。

得到管道裂纹的极限速度：

式中C₀为柱形杆纵波波速，钢材约5076m/s,h和R为管道壁厚和平均半径。按此式估算的西气东输管道上裂纹扩展的极限速度约为648m/s。

对于裂纹在脆性管道中的快速扩展，在全尺寸实验中可观察到的裂速范围为600～1000m/s，考虑到不同的设计参数，与上述预测比较接近；全尺寸实验在近年来应用的高韧性管线中观测到的裂纹稳态扩展速度一般在150～350m/s,近似可以看作脆性断裂速度的1/3，即：

在Kanninen之后，Emery（1950）提出，尽管裂纹的起裂和小范围扩展可由系统的降压值作为上限而加以估算，但开裂管道中的裂纹扩展却受到流体外流引起的压力降低的强烈影响。在几何尺寸一定的条件下，由管道断裂引起的压力释放波可以由远端反射回来，从而增加了裂尖处的管道压力：同时张开裂纹的自由边，却承受一个显著减少的压力，致使裂纹扩展减速。因此，为了解裂纹的动力学特征，必须考虑管道变形及流体压力。

在Emery的圆柱壳模型下，极限裂纹扩展速度比（2-6）式略低。

2.1.3  动态断裂力学参数

断裂动力学理论为结构动态断裂的分析与控制奠定了理论基础，并为其在工程应用方面提供了重要的概念、分析方法、结构参数计算和动态断裂准则。基本概念可以归纳为三个方面：描述动态断裂的特征参数、材料的动态断裂韧性和运动裂纹的止裂判据。接下来对上述三方面问题，尤其是对于和管道问题相关的概念，加以阐述和介绍，以备后文直接引用。

本节的讨论范围限于I型裂纹快速扩展问题，主要目的是给出与断裂力学参数相应的动态应力强度因子、动态能量释放率和裂纹尖端张开角的表达式。

2.1.3.1  动态应力强度因子

I型动态应力强度因子(t）的定义为：

式中t为时间，a_yy为y向正应力分量。

自Yoffe（1951)开始，包括Rice(1968)、Freund(1990)在内的很多学者推导并不断完善了无限大板等简单模型的以(t）表示的稳态扩展的裂纹顶端渐进应力场和位移场的解析解，Nishioka等（1996）进而给出了包括瞬态情况下的四阶渐进展开式，在此不做赘述。

这样只要得到(t）的值，就可以按照上述文献中的公式得到裂纹尖端场的解析解。目前除对于无限介质中的稳态扩展裂纹，通过适当简化可以得到应力强度因子的解析表达式以外，有限介质及构件中运动裂纹的动态应力强度因子的计算主要依靠数值方法，包括有限元法和有限差分法。

本文研究的高韧性钢为弹塑性材料，在裂纹扩展前，往往在裂端区甚至更大范围内有相当大的塑性变形，且伴随着裂端后面的卸载。因此，起裂后必须克服塑性变形才能发生裂纹扩展。此时，作为衡量裂端区应力场强度的力学参量J积分和应力强度因子K并不是严格有效的。Kanninen提出了更先进的J积分-T积分，适合应用于在弹塑性材料中的动态裂纹扩展分析。

2.1.3.2  动态能量释放率

对含运动裂纹的一般弹性体，为确定释放到裂尖的能量，考虑围绕裂尖非常小的闭合回路Γ，如图2-1所示，动态能量释放率可以由能量流动定义为：

式中v_n表示裂纹尖端运动速度在回路Γ上的法向分量，v为裂尖速率，T_i为作用于Γ上的应力分量，W为应变能密度，p为物质密度。

这里Γ的形状是任意的，但必须附着于裂尖的运动坐标系。这个表达式对线性与非线性的材料均适用。

在裂纹稳态扩展的条件下， （t）退化为断裂力学中的动态J积分，是与路径无关的量：

对于无限介质而言，（t）和（t）都可以写成与裂纹速度有关的函数与静态因子乘积的形式：

（t）=k（v）K（0）               （t）=g（v）G（0）     （2-9）

将用动态应力强度因子表示的无限大平面弹性体应力场和位移场的表达式代入动态能量释放率的定义式，可得二者之间的对应关系：

式中F（v）可以表示为裂尖速率v与材料平面纵波波速C₁及平面横波波速C₂的函数，E是材料的杨氏模量，v为泊松比。

(2-10)式意味着（t）和（t）同时达到临界值。也就是说，动态扩展断裂判据既可用临界应力强度因子，也可用临界能量释放率来表示。这是对线弹性材料、恒定裂速扩展的裂纹在无限大弹性体中得出的结论，可以定性地推广到一般问题中使用。

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