2.3.2.1.2  输入轴、输出轴相错时的同步性研究

假设两轴的位置如图2-22所示，建立模型及坐标系如下：Z_i和Z_j分别为输入轴、输出轴，设X_i（X_j）与Z_i和Z_j的公垂线重合，h为两轴间的最短距离，两轴夹角为β。

进行坐标变换，则坐标系OX_jY_jZ_j中的某点在OX_iY_iZ_i坐标系中的坐标可表示为：

在此表示坐标系变换矩阵，两轴啮合点M的坐标可如下求得：

此处_i、₀分别表示输入轴、输出轴在任意时刻转过的任意角度，由上式我们可导出以下的关系式：

假设此时两轴能够实现同步，令_i=₀，则上式只有两个未知量，通过计算，则可以导出两轴运动的轮廓曲线存在着某种关系。

设（2-6）恒成立，通过比较两端的系数可得：k=u，l=v，h=0

这显然与已知不符，因为h≠0，可见假设不成立。

若再设（2-8）式恒成立，则有m=0,u=O,w=0,v=O。代入（2-7）式中可得k=l=0，显然这个结果是毫无意义的，因此假设不成立。

通过以上的分析，我们知道，两轴相错时，在这种模型下，单一的万向联轴器联接不能实现同步的目的。

2.3.2.1.3  定心式等角速万向联轴器理论总结

定心式是指两轴相交时的情况，尽管上述证明过程涉及到了两轴相错时的等角速条件证明，但未得出任何结果，这里实际上只有定心式的等角速理论得到了证明。在证明中用到的模型传力点只有一个，这就是说结论的得到是建立在联轴器机构模型中中间构件只有一个的情况，多于一个的情况此结论就不一定正确了，因此这也限制了这一理论的应用范围。

2.3.2.2  定心式等角速万向联轴器的产品

下面的两类万向联轴器在结构上输入轴和输出轴始终相交于一点，只通过钢球来传递力，是典型的定心式等角速理论的应用。

2.3.2.2.1  球笼式万向联轴器

球笼式万向联轴器是目前性能最优良，应用最广泛的一种等角速万向联轴器，根据结构形式的不同可分为两大类，即导向杆式球笼万向联轴器和偏心距式球笼万向联轴器，分别如图2-23和图2-24所示。

导向杆式球笼万向联轴内外环上钢球滚道沟槽的圆弧中心和保持架内外球面的球心均重合确保万向节的中心o保持不变，如图2-23所示。当两轴线有相对的角位移时，通过导向杆的作用能使钢球分布在两轴轴线相对角位移的等分角平面上，从而保证两轴同步。导向杆式球笼万向联轴器因零件数量较多、安装不便，在应用上受到了一定的限制。

偏心距式球笼万向联轴器内外环上钢球滚道沟槽的圆弧中心o′和o″以相同偏心距分别置于对称线（如图2-24中蓝色点划线所示）的两侧，当两轴线有相对的角位移时，能使钢球分布在两轴轴线相对角位移的等分角平面上，从而保证两轴同步。

球笼式万向联轴器的特点：同步性高、角位移大、结构简单、体积小等许多优点。已形成系列，并广泛应用于汽车、冶金、轻工、重型机械等部门。

2.3.2.2.2  钢球柱槽联轴器

钢球柱槽联轴器同球笼式万向联轴器一样，它也通过钢球来传递两个半联轴器之间的力，当两个半联轴器的轴线有相对的角位移时，半联轴器上的滚道能使钢球分布在两轴轴线相对角位移的等分角平面上（如图2-25所示），从而保证两轴同步。同球笼式万向联轴器不同的是它的钢球分布在一个椭圆面上，而球笼式万向联轴器则分布在一个球面上。

钢球柱槽联轴器是一种结构极为简单且易于制造的等速联轴器，因而具有实用价值，不过由于结构上的限制这种联轴器两轴间的偏转角较小。

2.3.3  非定心式等角速万向联轴器理论及其产品

2.3.3.1  非定心式等角速万向联轴器传动理论

非定心式等角速理论：

输入轴和输出轴的相对转动瞬时转轴或瞬时转动——滑动轴位于或平行于两轴的等分角平面。

理论证明如下：

2.3.3.1.1  单联万向联轴器等角速传动的必要条件

设单联万向联轴器的角速度为，输出轴与输入轴的瞬时角速度相等，其角速度用来表示，两轴线相交于0点，偏转角β随时间的偏转角速度为。对此联轴器可作出图2-26所示的转动关系示意图。

假设给整个系统加上一个角速度-，则根据理论力学中的知识可知输出轴和输入轴的关系仍保持不变，这时输入轴的角速度变为零，而输入轴的运动可由下面的方法来分析。

如图2-26所示，使矢量等于，矢量等于-，且∠bo′f=β，作平行于-，其大小等于，则△abo′为等腰三角形，由b点作的垂线，得垂足g，垂线将△abo′等分成两个直角三角形，这两个直角三角形与△aco′为相似三角形。

由于：        ∠ao′z′=-

所以位于两轴的等分角平面内，因此-和的合成矢量即输出轴相对于输入轴的角速度也位于两轴的等分角平面内。的大小可通过△o′gb和△ogb来计算：

=2ω₀sin

由于矢量与输入和输出轴的轴线垂直，所以与的合成矢量=+也位于两轴的等分角平面内。合成矢量的位置就是瞬时转轴的位置。

所以轴线相交的等角速万向联轴器输出轴相对于输入轴的相对转动瞬时转轴始终位于两轴的等分角平面内。考虑到万向联轴器的一般情形：输入轴与输出轴轴线并不位于同一平面内，存在与输入轴线和输出轴线垂直的径向位移，且有径向移动速度和轴向移动速度与，如图2-27所示。

 

这些移动速度不影响角速度矢量合成，即不影响瞬时转动——滑动轴的方位，但是对角速度所确定的瞬时转动——滑动轴的位置有一定影响，这时输出轴相对于输入轴的瞬时转动——滑动轴不是位于而是平行于两轴的等分角平面。这一结果是以两轴角速度大小相等为前提条件推导出来的，可以作为单联万向联轴器的普遍条件来应用，现将此条件简述如下：

具有等速传动特性的单联万向联轴器的必要条件为两轴的相对转动瞬时转轴或瞬时转动——滑动轴位于或平行于两轴的等分角平面。

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