第2章 三环减速机的力学分析
2.1引言
三环减速机由于其原理的独特性，引起了人们的广泛关注。为了便于进一步研究这种传动形式，解决实际应用中的各种问题，因此有必要对这种新型传动形式的受力情况进行研究。本章主要求解本文提出的两级三环减速机的二级少齿差传动部分的受力。三环减速机采用三相并列平行双曲柄机构一一种自由度小于1的过约束机构，属于超静定问题，机构受力无法用平面刚体力学方法完全确定，必须建立变形协调条件补充受力方程，才能求解机构受力。为此，本章首先进行了三环减速机的运动分析和机构分析，然后根据结构力学求解超静定问题的位移法，结合三环减速机的传动特性，提出了相应的变形协调条件，建立了对称A型、对称B型、偏置型三环减速机和星型减速机内齿环板的受力分析模型，分别求解四种形式机构的受力，并且分析比较了在相同的传动技术参数条件下，不同形式的三环减速机的受力性能。
2.2三环减速机的基本原理及机构分析
2.2.1三环减速机的基本原理
三环减速机是在普通减速机技术的基础上，为适应现代机械设备对传动机构的要求而开发的一种新型传动装置。三环减速机的基本结构如图2一1所示，a）是对称型三环减速机传动，b）是偏置型三环减速机传动。它由两根高速偏心输入轴1、低速输出轴2、三片内齿环板3和输出外齿轮4构成。三片内齿环板3偏心安装在两根高速输入轴1上，为了平衡内齿环板的惯性力和惯性力偶矩，两侧环板与中间环板偏心之间的相位差为180°，且中间环板的厚度为两侧环板厚度的两倍，它们都与外齿轮4相啮合。外齿轮4安装在低速输出轴2上，各轴均平行配置，可以单独或同时传输动力。在本文研究的三环减速机中，为了克服死点及降低高速偏心轴的转速，采用两级传动实现双轴驱动，带动三片内齿环板作曲线平动，每片内齿环板都相当于一相平行四边形双曲柄机构的连杆，环板上每一点的轨迹都是以偏心轴的偏心距为半径的圆。两侧环板与中间环板以180°圆心角的间隔与外齿轮相啮合，形成大速比，通过输出轴传递运动和转矩。
2.2.2三环减速机的传动比计算
三环减速机是在N型少齿差行星传动的基础上形成的新型内齿行星传动装置，它是将N型少齿差行星传动的中心内齿轮改作行星轮，将行星外齿轮改作中心轮而形成的新型行星传动装置。如图2-2所示，P点为行星传动内、外齿轮瞬时啮合节点，所以有：vP1=vP2，假定速度以图中向右方向为正方向。外齿轮作以O1为圆心的转动，故有VP1=ω1r1′，由于内齿轮作平动，所以有：VP2=VO2=-ω2a′，则三环减速机的传动比为：
式中ω1，Z1，r1′，r1——外齿轮角速度，齿数，节圆半径，分度圆半径；
ω2，Z2，r2′，r2——转臂（双曲柄）角速度，齿数，节圆半径，分度圆半径；
a′——内齿行星轮、外齿轮的中心距。
从公式（2-1）中可以看出，三环减速机二级传动部分输入轴与输出轴转动方向相反且传动比i2的大小受内、外齿数差的直接影响。当Z2-Z1=1时，二级传动比与外齿轮子齿数Z1相等。
对于图1-7所示的两级三环减速机的总传动比i为：
i=i1·i2
式中i1为一级传动传动比，
。
2.3三环减速机的力学分析
2.3.1内齿环板和转臂偏心轴承的惯性力分析
三环减速机的精确受力分析是指导三环减速机设计的基础，采用类比和估算设计制造出的产品存在诸多问题。为此，本章将对三环减速机的受力分析进行深入的研究，并且探讨三环减速机传动机理。选取内齿环板为受力分析对象，它受有重力Gi、惯性力Pi和啮合力Fni，其中啮合力Fni是主要的受力形式。考虑到三环减速机内齿环板的转速较高，且其质量较大，故在力学分析中必须将内齿环板的惯性力和重力考虑在内。首先分析内齿环板的惯性力，参考如图2-3所示的对称A型三环减速机内齿环板的受力分析图，假设内齿环板的质量为mi，转臂轴承的质量为miH，内齿环板的质心在O点，两转臂偏心轴的质心分别在Ai和Bi点，转臂的转速为nH。r2、rb2分别为内齿轮2的分度圆半径和基圆半径，e为转臂偏心距，即内、外齿轮的实际中心距。内齿轮2的齿数为Z2，外齿轮的齿数为Z1，m为齿轮模数。因内齿环板做平动，则n2=0，其质心O以转速nH转动，轨迹是以e为半径的圆，则
转臂偏心轴承的惯性力为：
2.3.2三环减速机的变形协调条件
三环减速机采用三相并列平行双曲柄机构作为输入机构，多相并列平行双曲柄机构如图2-4所示，设其并列相数为n，多相平行双曲柄机构分别为A1B1C1D1、A2B2C2D2、……AnBnCnDn，F1、F2分别为两根曲柄轴上的力；T1、T2分别为两根曲柄轴上的力矩：P1、P2、……Pn分别为平行双曲柄机构连杆上的力，M1、M2、……Mn分别为各连杆即内齿环板上的力矩。按机构自由度分析方法，其自由度为：F=2-n，机构中所含的虚约束数为x=n-1。所以，三环减速机的机构自由度为：F＝-1，机构中的虚约束为x=2。三环减速机运动链不满足静定条件，用一般平面刚体力学分析方法无法完全求得机构的受力。目前只能采用类比设计或借助于十分粗略的模型进行受力分析，由此造成品性能不稳定，减速机使用过程中常出现发热、振动噪声大、轴承早期损坏等现象，严重制约了这种传动形式的进一步发展。分析其原因，主要有：1.没有弄清各零部件之间的力学关系，使得设计参数选择不合理；2.各零部件受力后的变形，使机构物件受力更为复杂。为此需要考虑各构件的变形，建立变形协调条件作为补充方程。首先分析三环减速机传动机构变形，三环减速机传动机构的主要变形有各构件的接触变形、轴的扭转弯曲变形、环板的拉压变形等等。根据位移变形分析可知，轴的弯曲变形和环板的拉压变形是主要的变形形式。本文研究的环板间相位差为180°的完全平衡、均载减振两级三环减速机HITSH145的环板结构如图2-5所示。
对于环板，为了计算简单，将其简化为等截面杆处理。在图2-5所示的坐标系下，环板拉压变形部分的面积为曲多边形CDEFGH的面积SCDEFGH的4倍，即S=4SCDEFGH。取环板的宽度b1=19mm，SCDEFGH进行积分运算，由环板简化前后体积相等的原则，可得环板简化为等截面杆的直径D=46.86mm。
由于环板截面的变化没有突变，加之最小截面处直径与D相差无几，因此可把变截面杆的拉压变形按等截面杆来处理。假定环板所受x方向的载荷为P，则环板在x方向的拉压变形△l为：
式中E——材料的弹性模量，本文中取为2.06×1011N/m2（下同）。
对于三环减速机输入轴来说，结构及受载情况如图2-6所示，其中轴有效长度L=116mm，d=30.5mm，S=27.5mm，输入轴直径D=25mm，如果环板所受载荷为P，则两侧环板处输入轴在x方向的挠度△x为三个挠度的叠加：
中间环板处输入轴在x方向的挠度△x为三个挠度的叠加：
由于△x/△l≈4-7，所以三环传动中，输入轴的弯曲变形是主要变形，环板拉压变形也同样不可忽略。参考如图2-3所示的对称A型环板的受力情况，环板和输入轴在y方向的变形是二次微小量，可以略去不计。考虑环板和输入轴在x方向的变形，任一环板可以简化为三段不同直径的杆，在x方向上分别受到FAix、FBix、啮合力Fni水平分力和惯性力Pi水平分力的拉伸或压缩作用；对于输入轴来说，在输入轴上任一环板处Ai（Bi），输入轴在x方向的挠度△x为偏心轴颈上环板轴承的作用力FA1x，FA2x，FA3x（FB1x，FB2x，FB3x）在Ai（Bi）点作用的挠度△xAi（Bi）的叠加。则三环减速机变形协调条件取为：在外力作用下，任一环板处两个输入轴在x方向的挠度的差等于该环板在x方向的变形。上述变形协调条件表示为：
式中△xAi——在一输入轴上环板处Ai点的由于力FAjx作用的挠度（j=l，2，3)；
△xBi——在另一输入轴上环板处Bi点的由于力FBjx作用的挠度（j=1，2，3)；
△li——对应于AjBj的一块环板在x方向简化为等截面杆的拉压变形(j=l，2，3）。
2.3.3环板转臂偏心轴承的作用力分析
本章分别对相位差为180°的对称型和偏置型三环减速机进行受力分析。所谓对称型三环减速机，顾名思义，就是指两个高速输入轴对称地分布在低速输出轴的两边的三环减速机，对称型三环减速机按输入轴的位置又分为两种，结构形式如图2-7所示，a）对称A型和b）对称B型；偏置型三环减速机就是指两个高速输入轴分布在低速输出轴的一侧的三环减速机，结构形式如图2-8所示；对三种形式三环减速机的受力分析，主要是考虑第一级齿轮传动的中心距的需要，对称B型和偏置型三环减速机的两根高速偏心轴轴心距较小，易于实现双驱动。对称型和偏置型三环减速机的两根高速输入轴1相互平行，且各自带有3个互为180°的偏心轴颈，三片带内齿的传动环板，其中两片两侧环板3和一片中间环板4，通过轴承安装在输入轴的对应偏心轴颈上，低速输出轴2与两根输入轴平行，其上的外齿轮5与环板的内齿轮构成渐开线少齿差内啮合运动副。各轴均通过轴承支承在箱体6上，动力由高速轴1双轴输入，低速轴2输出，传递运动和转矩。对于对称型和偏置型三环减速机来说，为了考虑惯性力和惯性力偶矩平衡，中间环板的厚度b2取为两侧环板厚度b1的两部。
内齿行星传动的减速机中，还有一种类似于三环减速机的星型少齿差减速星型减速机就是指三个高速输入轴呈星型均匀地分布在低速输出轴的周围的少齿差减速机，结构形式如图2-9所示，不过它只有一片内齿环板。星型少齿差减速机由一根高速偏心输入轴、两根高速偏心支承轴、一根低速输出轴、一片内齿环板和箱体组成。一般用于传递中心功率，其结构比较紧凑，可做成立式或悬挂式等多种形式。
下面将对上述几种减速机转臂偏心轴承的作用力做深入的讨论。首先分析对称型三环减速机的情况。图2-10所示为对称型三环减速机传动结构图，对称A型的一块环板的受力情况和坐标系选取如图2-3所示。对作用于对称A型环板上的平面力系，可列出静力平衡方程：
（i=1，3）
对于中间环板i=2，静力平衡方程变为：
式中rb2——内齿轮基圆半径；
Fni——环板上啮合力，切于基圆，指向啮合点。
上式方程数为9个，而方程中未知量的总数为12个，故存在3个多余未知量。根据前述的变形协调条件，建立3个变形协调方程，作为机械受力分析的补充方程，利用高斯消元法即可求解。
本文研究的传动比i=21的相位差为180°的对称A型三环减速机，传动技术参数为：
L=145mm，Z1=42，Z2=44，m=3.5mm，α=20°，α′=37.356°，T=875N·m。n=1440r/min，b1=19mm，b2=38mm。则两输入轴的偏心轴颈上的环板轴承载荷FAi、FBi随输入曲柄转角φ变化的曲线如图2-11、2-12所示。
对称A型三环减速机环板转臂偏心轴承载荷呈简谐规律变化，中间环板转臂偏心轴承载荷幅值达4500N，中间环板转臂偏心轴承载荷约为两侧环板转臂偏心轴承载荷的两倍，且相位差为180°。输入轴1的载荷幅值比输入轴2的载荷幅值大约100N，这主要是由于考虑输入轴的弯曲变形和环板的拉压变形的影响而造成的。
对称B型三环减速机的一块环板的结构如图2-13所示，它的受力情况和坐标系选取如图2-14所示，符号的标定及含义同对称A型三环减速机。
对作用于对称B型环板上的平面力系，可列出静力平衡方程：
（i=1，3）
对于中间环板i=2，静力平衡方程变为：
式中rb2——内齿轮基圆半径；
Fni——环板上啮合力，切于基圆，指向啮合点。
上式方程数为9个，而方程中未知量的总数为12个，故存在3个多余未知量。根据前述的变形协调条件，建立3个变形协调方程，作为机构受力分析的补充方程，利用高斯消元法即可求解。
本文研究的传动比i=21的相位差为180°的对称B型三环减速机，传动技术参数为：
L=105mm，L′=100mm，Z1=42，Z2=44，m=3.5mm，α=20°，α′=37.356°，T=875N·m，n=1440r/min，b1=19mm，b2=38mm。则两输入轴的偏心轴颈上的环板轴承载荷FAi、FBi，随输入曲柄转角φ变化的曲线如图2-15、2-16所示。
对称B型三环减速机环板转臂偏心轴承载荷比对称A型的大约45%，中间环板转臂偏心轴承载荷幅值达6600N，中间环板转臂偏心轴承载荷约为两侧环板转臂偏心轴承载荷的两倍，且相位差为180°；初步分析发现对称B型三环减速机的两输入轴之间距离2L比对称A型的小，在传递相同扭矩的情况下，由于作用力矩较小，对称B型转臂偏心轴承载荷必然要大。并且输入轴1的载荷幅值比输入轴2的载荷幅值大约200N，这主要是由于考虑输入轴的弯曲变形和环板的拉压变形的影响而造成的。
其次分析偏置型三环减速机的情况，图2-17所示为偏置型三环减速机传动结构图，偏置型三环减速机的一块环板的结构如图2-18所示，它的受力情况和坐标系选取如图2-19所示，符号的标定及含义同对称型三环减速机。
对作用于偏置环板上的平面力系，可列出静力平衡方程：
对于中间环板i=2，静力平衡方程变为：
式中 rb2——内齿轮基圆半径；
Fni——环板上啮合力，切于基圆，指向啮合点。
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