内齿行星齿轮传动零件的变形位移研究
4.1引言
上一章对内齿行星齿抡传动机构的动力建模进行了系统的研究。从研究中发现，建立位移协调补充方程时，都必须将变形位移与构件的柔度或刚度联系，变换成真正要求解的力或力矩的关系。对结构简单的轴类零件以及齿轮等，可以利用现有的有关计算公式直接建立变形位移与力握）的关系。然而对于行星齿板、偏心套等零件，由于其结构形状复杂只能将变形按接触变形进行处理，即用接触力与接触刚度系数之比代换位移。这种方法简便，可以直接导出解的结果。适合于载荷不大，零件变形小的传动。但对于重载高速传动来说，零件的总体变形往往比较大，特别是行星齿板的齿圈厚度是随位置角度变化的，其变形也将随啮合齿变化而变化。
因此，齿板的刚度在工作过程中变化也很大，不可能为常数。行星齿板上某点的位移与作用在齿板上力（载荷）的关系并不象接触变形那样，某点的位移只与该点受载及该点柔度（刚度）有关。而是通过齿板的整体柔度系数矩阵联系作用在齿板上所有外力来反映某点的位移。把这种位移与力的关系叫做柔度方程。行星齿板柔度方程中的柔度系数，随工况位置φ(j)变化，不是固定值。柔度系数可以在不同的工况时通过有限元法等数值计算方法来确定。本章用有限元法计算行星齿板及偏心套在不同工况时的柔度系数，导出其位移与力的关系。对轴、轴承、外齿轮等零件的位移与力的关系，用现有的理论公式表示。
4.2弹性体的柔度方程及其柔度计算
柔度方程亦是弹性体的位移表达式。有限元法中的刚度方程就是弹性体节点位移与节点力之间的关系
由式（4-1）表达的是弹性体节点位移的隐函式。必须将其转换只与弹性体外载荷有关的节点位移显函式，才有用于内齿行星齿轮传动的动力分析中。由于式（4-1）中的总刚度矩阵K是一个奇异矩阵，不存在逆矩阵，所以不能直接解出其位移表达式来。必须考虑实际边界条件，以及为避免出现刚体运动，对具体的弹性体进行某体节点零位移的约束处理。即对总刚度矩阵K要作相应的变更，使总刚度矩阵变为非奇异矩阵。处理边界位移约束的方法见参考文献。
经过约束处理后，式（4-1）记作
式（4-6）就是弹性体离散化后，经过约束处理的节点位移表达式，即弹性体的柔度方程。设约束处理后有n组节点位移，即
式
（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）是弹性体柔度子矩阵。
所以柔度方程为
式（4-12）就是外力作用点位移及其作用力的关系式。
柔度矩阵戌构件的材料、几何形状以及划分网格形状等因素有关。其中各元素可以依次加单位载荷，用式（4-12）计算确定。先令式（4-14）中F1=1，F2=F3=…=Fr=0代入式（4-12）得
上式中Di1=δ<1>i就是F1作用点加单位载荷计算出的柔度系数值。同理可分别在F2，F3，…，Fr作用点加单位载荷，求出其余的柔度
系数值，于是得到
式（4-19）就是用有限元法通过加单位载荷求得的弹性体柔度矩阵
4.3偏心套及行星齿板的柔度计算
从上节介绍知，弹性体的柔度系数矩阵可以通过有限元法，加单位载荷来计算确定。因此，偏心套及内齿行星传动齿板的柔度计算，实际上是对其进行有限元建模分析。下面以SHQ40型三环传动为例，在SUN工作站上使用I-DEAS软件中的有限元模块计算偏心套及齿板的柔度系数。
4.3.1偏心套的有限元柔度计算
偏心套的实体模型如图4-1所示。由于在三环传动中，偏心套的两侧是由档块整面限制其位移，即有w=0，εz=0，γzy=γzx=0，因此，可以将偏心套简化为平面应变问题来处理。
图4-1偏心套实体模型
用I-DEAS文件将实体模型传输到有限元分析软件中。在此几何模型的基础上，对外圆周以每360°/5一个节点进行等分，选用平面三角形单元，自动生成如4-2所示的有限元网格图。
由于偏心套是与高速轴直接套在一起，并通过键传递扭矩，计算偏心套的柔度时，可取偏心套与键接触处节点法向位移，以及偏心套内圆与轴接触处各节点的径向位移为零（见图4-2所示）。
图4-2偏心套网格及约束图
齿板是通过轴承将力作用在偏心套的外圆周上，而且在不同的工况其接触点不相同。因此，计算偏心套的柔度系数矩阵时，需要对外圆周上的每个节点，依次加单位载荷，计算出外圆周上每个节点的位移（亦其柔度系数值）。将这些柔度系数值整理成适合计算调用的磁盘文件PXTRD.DAT。
4.3.2行星齿板的有限元柔度计算
行星齿板在内齿行星传动中，既是双曲柄机构的连杆，又是少齿差传动的内齿轮，是传递运动及动力的关键零件。齿板一般都是直齿圆柱齿轮。其它零件与其接触作用的力都是平行于齿板平面沿其厚度均布的。在板面内无任何外力作用，因此可以认为板内各点的六个应力分量中所有沿Z方向（垂直于板闻）的分量均为零，即有σz=τyz=τxz=0,剩下的三个分量σxσyτxy都是作用在和XOY平
面相平行的平面内。行星齿板的实体模型如图4-3所示。这样，可以把对齿板的研究简化成平面应力问题来处理。
行星齿板的实体模型如图4-3所示。将其传输到有限元模块中，以平面三角形单元进行网格化分，如图4-4所示。高速轴孔的周边节点数为360°/Z2。
图4-3齿板实体模型
由于在内齿行齿轮传动动力分析中，计算的是外力作用点之间的相对位移，因此，在对齿板进行刚体位移约束时，约束水平位移的节点应尽可能选在外力作用点之间的水平坐标范围之外。约束铅垂位移的节点应尽可能选在外力作用点之间的垂直坐标之外。这样才不至于由于约束节点产生的反力影响外力作用点之间的相对位移。根据这个原则，可令齿板最左端边缘一节点的水平位移为零，以消除齿板的刚体水平位移；令齿板最上端边缘一节点及中孔垂直对称轴与齿板最上边边缘交点的节点位移为零，以消除齿板的刚体垂直位移和刚体角位移，如图4-4 所示。
图4-4齿板网络及约束图
单位载荷依次加在各高速轴孔内圆周边各节点，以及与外齿轮啮合的内齿圈分度圆节点上，将求解出的柔度系数分为高速轴、内齿圈两大类，分别见磁盘文件GF1.DAT,GF2.DAT及GFN.DAT，GFN.DAT等。
4.4偏心套和行星齿板的位移及其刚度系数
用有限元法计算出偏心套和齿板的柔度系数表后，就可以由式（4-12）写出它们在不同工况时，关于啮合力及轴承作用力的节点柔度方程组。但是，由轴承作用给偏心套及齿板高速轴孔的反力，是沿作用周边非均布变化的，而且作用范围（接触角）也很知道。这给动力分析带来很大的困难。因此有必要对轴承作用给这两个零件的节点载荷加以简化处里。
4.4.1轴承载荷的处理
确定作用于结构边界上的非均布载荷是一件复杂工作，往往需要进行一些较复杂的计算，譬如采用接触问题有限元法进行计算。在实际应用中常采用一些近似的假设规律来代替这些复杂的未知分布规律。对于轴承载荷，一般假设沿周边按余弦规律分布如图4-5所示，即
Pα= Pα maxcos Kα （4-20）
式中Pα二为分布载荷：
Pα max 为最大分布载荷；
由上式可写出
于是得到
其中PLE为轴承负荷的合力；
Rr为偏心套或齿板孔半径；
φ为接触角。
系数K可按下式计算
当α=φ/2时，由式（4-20）得知Pα为零：即Pα=Pα maxcosKα=0
当分布规律求出以后，即可按下式计算接触边界上各节点之间微段上分布力的合力Pm及其X、Y轴方向上的分量Pmx和Pmy
然后，按静力学等效原理，将微段上的合力或其分量分别移置到对应的边界各节点上。因边界上各节点之间的微段一般较短，可认为各微段上的作用力近似梯形分布，而Pmx，Pmy就可以认为是作用在梯形的形心上（图4-6（a））。
对于边界上每一个微段，按上述方法计算完后，再对每一个边界点处的力求和即得到边界节点沿y向的载荷分量（图4-6（b））。例如，对于边界节点2，其节点载荷P2y为
在计算中，接触角φ的大小是预先给定的，它的大小与接触处的刚度、间隙以及润滑情况等因素有关。一般情况下，在120°～180°范围内选取，本文接触角取φ=150°计算。
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