第4章 圆柱正弦活齿传动系统动力学特性研究
4.1引言
机械传动系统把运动和动力由动力源传递给机器执行件的工作过程中，经常会受到激振力和激振力矩的作用，从而使传动系统的零部件产生扭转振动，振动将直接影响到机械系统的精度、效率、寿命、安全性和可靠性，由此而产生的噪音也对环境产生干扰和危害。因此在设计机械传动系统时，必须考虑将振动的量级控制在一定范围内，以保证系统具有良好的动态特性。为设计高性能的圆柱正弦活齿减速器，了解该传动系统的动态特性，有必要对其进行扭振动力学分析，以便评价其振动水平，并找出影响动态特性的薄弱环节，从而为进一步动态结构优化设计、提高减速器的动态性能提供了理论依据。评价传动装置的动态性能通常有试验法和计算法两种方法。一般情况下，试验法可获得较准确的结果，但只适用于评价给定的实物或模型。而计算法通过建立动力学模型，在设计阶段就可获得评价系统动态性能所需的各种数据资料，并可根据分析结果来进行优化设计，从而在设计阶段就能得到一个具有良好动态特性的系统设计方案，因此计算方法比试验法更经济实用，但数学模型的建立具有一定的难度。
用计算方法对减速器系统进行动态分析时，其常用的数学模型有集中参数模型、分布质量模型和有限元模型三种。其中，有限元法是一种比较成熟的方法，并有现成的商用程序软件（如NASTRAN,SUPGl,I-DEAS等）可供用户使用，但它要求用户有相当高的分析与判断能力以及丰富的实践经验。该方法建立的动力学模型虽然精度较高，但只能用来分析参数固定的减速器，面对参数化的系列减速器，应用有限元法进行分析就显得非常繁琐，并且费时费力、效率低。而且在下一章的动态优化设计中需要对具有不同设计参数的减速器进行动态分析以获得训练神经网络的样本，此时有限元法就显得无能为力。因此，在本次研究过程中，采用了以集中参数模型表示的拉格朗日法，该方法基于系统能量的观点去分析系统，建立系统动力学方程，由于能量法中使用的量是标量（动能、势能、功），而不是向量（位移、力等），因而使对问题的描述更为简洁、容易和全面，且计算结果完全可以满足工程实际的需要。本章利用拉格朗日方程建立了该减速器的扭振动力学方程，计算了它的动态参数和能量分布，对减速器系统进行计算、分析和评价，找出了其薄弱环节，为进一步提高其动态特性提供了理论依据。应用Pro/ENGINEER建立起减速器的三维实体模型，利用ANSYS有限元分析软件对圆柱正弦活齿减速器的关键传动件进行了模态分析。
4.2系统扭振动力学模型的建立
为分析圆柱正弦活齿传动系统的动态特性，首先需要根据系统结构建立其动力学模型。圆柱正弦活齿传动的结构简图如图4-1所示。
根据各种零件动力学作用的不同，可把组成系统的各元件分成两类，即惯性元件和弹性元件。惯性元件指的是各轴及轴上的旋转质量，如齿轮、轴上直径较大的凸缘等盘类零件。当传动系统发生扭转振动时，它们对系统的动力学作用，主要反映在转动惯量方面，所以称之为惯性元件。弹性元件是指两惯性元件之间的轴段，它可以不计质量而只考虑扭转变形，它对振动系统的作用在于本身的扭转刚度。
建立圆柱正弦活齿减速器扭振动力学模型时，将活齿和其它质量较大而长径比较小的零件作为只有惯性而无弹性的惯性元件。把同一轴上各惯性元件的转动惯量根据实际情况，转换到该轴的两端，形成两个等效圆盘。计算两刚性圆盘之间所有轴段的扭转刚度和转动惯量，将各轴段的转动惯量迭加到该轴的两惯性元件上（一般可平均分配），各轴段的扭转刚度转换成一个弹性轴段的扭转刚度，其值应与两惯性元件之间实际轴段的扭转刚度相等。
对于图4-2a所表示的活齿与主动轴之间、活齿与导架之间、活齿与壳体之间的啮合副而言，当啮合处的弹性变形不能忽略时，可以引入一个等效的弹性轴段，视为一个弹性元件，如图4-2b所示。
根据上面叙述的方法，可以建立起如图4-3所示的动力学模型。为便于分析，将圆柱正弦活齿传动系统的动力学模型简化，由于在一个工作周期中，各活齿在扭振方向的工作状态完全相同，故可将所有的活齿等效为一个惯性元件，并根据热能不变的原则，将各活齿副的啮合刚度转化为等效的扭转刚度，然后叠加得出整体的等效扭转刚度。由此，各活齿与主动轴、导架及壳体间并联的弹性连接和阻尼分别等效为一个弹性轴段。等效简化后的动力学模型如图4-4所示。
4.3系统扭振数学模型的建立
将上述模型进一步转换成链状结构。此时，需将图4-4中各轴上的刚性圆盘和弹性轴段转换到同一轴线上，构成单一轴线的等效圆盘系统的扭振动力学模型。转换时，可转换到输出轴上，也可转换到输入轴或中间任一传动轴上。转换中，按转换前后系统的动能和势能保持不变的原则。将所有参数转换到输入轴上，设φ1′、φ2′、φ3′和φ1、φ2、φ3分别为转换前后各惯性元件的扭转角，按传动比关系有：
φ1′=φ1；φ2′=φ2/i；φ3′=φ3/i （4-1）
式中 i——减速器的传动比。
转换前系统的功能T、势能V和阻尼功D分别为：
式中 I1——主动轴转动惯量（kg·m2）；
I2——活齿等效转动惯量（kg·m2）；
I3——导架转动惯量（kg·m2)；
ke1——主动轴与活齿间的等效扭转刚度（N·m/rad）；
ke2——导架与活齿间的等效扭转刚度（N·m/rad）；
ke3——壳体与活齿间的等效扭转刚度（N·m/rad）；
Cel——主动轴与活齿间的等效扭转阻尼（N·m·s/rad）；
Ce2——导架与活齿间的等效扭转阻尼（N·m·s/rad）；
Ce3——壳体与活齿间的等效扭转阻尼（N·m·s/rad）。
根据转换前后系统的动能、势能和阻尼功保持不变的原则，将式（4-1）代入式（4-2）中，得到转换后系统的动能、势能和阻尼功分别为：
对转换成链状结构的系统，应用拉格朗日法建立系统的扭振动力学方程，系统中带有粘性阻尼，因此列出含有耗散函数的拉格朗日方程
式 L——拉格朗日函数L=T-V；
φi——广义坐标（i=1，2，3）；
Qi——广义力（N）（i=1，2，3）。
将式（4-3）代入拉格朗日方程（4-4）中，得到系统的动力学方程如下所示：
将式（4-5）用矩阵形式表达，则系统的动力学方程可写为：
4.4系统固有特性及势能分布率
系统固有频率以及相应主振型表现了系统的固有特性，其数值只跟系统本身的参数有关，而与其它条件无关。通过研究系统的固有特性，可对系统的动力学性能进行分析，并根据分析结果修改结构参数，以达到对结构优化设计的目的。
4.4.1系统固有频率和主振型
在分析和评价减速器系统扭振特性时，需要计算系统的各阶固有频率以及相应的主振型，这就要求解系统的无阻尼自由振动方程。当系统自由振动时，激振力矩和阻尼均为零，此时系统的动力学方程可表示为
为求解系统无阻尼自由振动方程，在微振动的情况下，方程（4-7）的解可写成如下形式：
式中 ω——固有圆频率（rad/s)；
{φ}——角位移的振幅列向量。
将式（4-8）代入式（4-7）中，并消去因子Sinωt，得到
（[K]-ω2[M]）{φ}=0 （4-9）
ω2和{φ}又称为广义特征值和广义特征向量。由此，求解系统固有频率和主振型的问题就转化为求解方程（4-9）的广义特征值和广义特征向量的问题。
4.4.2模态柔度和势能分布率
为使设计的系统具有良好的动态特性，在建立了反映传动系统动态特性的数学模型的基础上，可对结构进行修改和优化设计。通常是要求把结构的振动强度或动柔度限制在一定的范围内。关键过程是首先找出结构的薄弱环节，然后有针对性的修改薄弱环节的局部结构，从而使整个系统的动态特性满足要求。为此需对系统的模态柔度和势能分布率进行考察。
由于系统的最大能量Emax是与振型向量{Θ}的平方成正比的，不论阻尼大小如何，这个比例关系总是一定的。因此，模态柔度是一个与阻尼无关的参数，其大小仅取决于系统的结构参数和物理参数。改变结构参数、物理参数的大小和配置方式，均将使其发生明显的变化。系统的第s阶模态柔度R(s）的定义为
式中φ(S)n+1——系统末端在第s阶模态振动时的扭振幅值（rad）；
Ui(S)——系统中第i个弹性元件在第s阶模态振动时的热能。其值为
式中φi(S)——系统中第i个弹性元件在第s阶模态振动时的转角（rad）。
模态柔度的大小表明了该阶模态的危险程度。模态柔度越大，该阶模态越危险。但并不能仅凭模态柔度值来分析造成模态危险的原因，为确定结构修改的部位和修改内容，还必须考察各个弹性元件的势能或势能分布率。势能分布率定义为
势能分布率的大小表明系统中弹性元件变形能的大小，势能分布率最大的元件也就是系统的最薄弱环节，即造成该阶模态危险的主要原因。据此可以确定相应的改进措施，以提高系统的动态性能。
4.5扭振动力学模型参数的确定
为求解圆柱正弦活齿减速器扭振动力学模型，首先要确定模型中的参数，其中包括几何参数、物理参数和外载荷参数。几何参数通过对减速器系统结构设计来确定，物理参数包括质量参数（如转动惯量）、刚度参数（如活齿副啮合刚度）和阻尼参数（如轴类零件扭转阻尼）。下面给出活齿等效转动惯量、活齿副等效扭转刚度和轴类零件扭转阻尼的计算方法。
4.5.1惯性元件的转动惯量
在圆柱正弦活齿传动中，所有活齿不仅沿圆周方向作等速旋转，同时还在轴句方向发生位移。为简化系统的动力学模型，需根据动能不变的原理，将所有活齿等效为一个惯性元件。
所有活齿的总动能：
n——活齿个数；
R——活齿在圆周方向的分布半径（mm）；
vi——单个活齿沿轴线方向运动速度vi=Aω0Z3cos（Z3φi），（mm/s）；
I2′——单个活齿转动惯量
ωzi——活齿自转角速度
r——活齿半径（mm）；
ω0——活齿在圆周方向的旋转角速度（rad/s）；
m0——单个活齿的质量
ρ——活齿的材料密度（kg/mm3）。
根据转换前后动能不变的原则，可列下式：
由式（4-14）整理得到活齿等效转动惯量为：
4.5.2弹性元件的扭转刚度
活齿副的啮合刚度是指工作时活齿副共同抵抗变形的能力，它与啮合副的综合弹性变形有关，在点接触的情况下，两接触体变形趋近量为
式中 F——接触点处法向作用力（N）；
——赫兹系数；
∑ρ——主曲率和（1/mm）。
活齿副的啮合刚度可表示为
单个活齿副啮合刚度对整体刚度的贡献是角度的函数，不能简单叠加。因此需要先根据势能不变的原则，将各活齿副啮合刚度转化为等效的扭转刚度，然后叠加得出整体的等效的扭转刚度。
对于活齿与主动轴（或壳体）正弦滚道的啮合副来说，主动轴的角位移△φ在接触点作用力的方向上产生的等价线位移为
xi=R2△φ2·sin2αni·cos2（ui） （4-18）
式中 αni——接触角（rad）；
ui——瞬时接触线的方位角（rad）。
由啮合刚度产生的势能与转换后的扭转刚度产生的势能相等，可列方程
式中 Ki——啮合刚度（N/mm）；
n——活齿个数。
将式（4-18）代入式（4-19），整理得到等效后的扭转刚度为
同理，对于活齿与导架的啮合副来说，啮合刚度转化成等儿扭转刚度为
上一页
下一页
