4.5.3轴类零件扭转阻尼
轴类零件的扭转阻尼主要是材料阻尼，根据H.H.Lin和C.Lee等的分析，其扭转阻尼可利用下式进行计算：
式中 ks——轴类零件的扭转刚度（N·mm/rad）；
ξs——轴类零件的扭转阻尼系数，根据D.R.HOuser等的试验研究；
ξs一般取0.005～0.075；
I1，I2——分别为轴类零件两端惯性元件的转动惯量（kg·m·mm）。
4.6圆柱正弦活齿减速器扭振动态特性分析
初步确定圆柱正弦活齿减速器的结构参数：主动轴正弦滚道周期数Z1=1，壳体正弦滚道周期数Z3=4，传动比i=5，活齿半径r=4mm，正弦滚道幅值A=4mm，导架壁厚b=3mm，正弦滚道深度b1=2mm，额定输入转速150Orpm，额定输出扭矩20N.m。利用前面建立的圆柱正弦活齿减速器系统的动力学模型对减速器系统进行扭振分析，找出系统的固有特性，即固有频率和主振型。由于轴承的旋转阻尼很小，这里忽略不计。根据减速器各元件实际尺寸及式（4-20）、（4-21）计算得到各惯性元件的等效转动惯量、弹性元件的等效扭转刚度如表4-1所示。
表4-1惯性元件的转动惯量和弹性元件的扭转刚度
Il
（kg·m·mm） |
I2
（kg·m·mm） |
I3
（kg·m·mm） |
ke1
（N·mm/rad） |
ke2
（N·mm/rad） |
ke3
（N·mm/rad） |
| 0.06452 |
0.00928 |
0.140163 |
1.1589×106 |
9.6431×107 |
1.4606×107 |
根据式（4-9）、（4-10）及（4-12）计算出固有频率、势能分布率和模态柔度见表4-2。利用Matlab编制程序还绘制出图4-5所示的减速器系统的振型曲线。
表4-2圆柱正弦活齿减速器扭振动力学分析结果
| 固有频率（Hz) |
644.357 |
1539.216 |
17922.727 |
| 主振型 |
{1.0000,0.43699,
0.44766} |
{1.0000，-21.037,
-24.347} |
{1.0000，-3525.3,
202.23} |
势能
分布
率 |
弹性元件1 |
0.8960135 |
0.0945825 |
0.0094040 |
| 弹性元件2 |
0.0004073 |
0.1271889 |
0.8724037 |
| 弹性元件3 |
0.1035791 |
0.7782286 |
0.1181923 |
系统模态柔度
×10-6(rad／（N·mm)) |
0.18604 |
1.78412 |
0.0006657 |
通过表4-2中的分析结果我们可以看出，二阶（1539.246Hz）系统模态柔度最大，所以该阶模态是危险模态。要找出造成该阶危险模态的具体原因，我们可以考察各弹性元件的势能分布率。从表4-2中可以看到，此时3号弹性元件的势能分布率最大，这说明在扭转时，它的弹性变形能最大，即它是最薄弱环节，是造成危险模态的主要原因。从这个结论出发，便可以采取相应措施来改进设计方案。通过适当增大壳体正弦滚道与活齿间的啮合刚度来提高等效扭转刚度，便可改善该减速器的动态特性。动态性能好的系统应该是各阶模态柔度小而且每阶模态中各元件的能量分布均匀。为了达到这个目标，可以按照上述方法继续调整有关弹性元件的扭转刚度，直到获得满意的结果为止。
在负载变化和误差较小的情况下，圆柱正弦活齿减速器系统的激励频率就是啮合刚度的变化频率。它的计算如下：
f=n1/60=25Hz （4-23）
式中 ni——输入轴转速（rpm)。
由表4-2中结果可知，减速器系统的一阶基频为644.357Hz，系统基频远远大于激励频率，因此该减速器的振动水平较低，振动和噪声较小。
4.7圆柱正弦活齿传动的有限元模态分析
有限元法（FEM）是一种采用计算机求解结构静、动态力学特性等问题的数值方法，它具有精度高、适应性强以及计算格式规范统一等优点，现已广泛应用于机械、航空宇航、汽车、船舶，土木、核工程及海洋工程等许多领域，成为现代机械产品设计的重要工具。当前，国际上最具影响力的有限元分析软件之一是美国ANSYS公司开发的ANSYS软件。
ANSYS软件是融结构、传热学、流体、电磁、声学、爆破分析为一体的大型通用有限元分析软件，按其功能作用可分为：一个前处理器、一个求解器、两个后处理器、几个辅助处理器等。前处理器用于生成有限元模型；求解器用于施加载荷及边界条件，完成求解运算；后处理器用于获取求解结果，以便对模型做出评价。另外，ANSYS还提供了强大的数据接口程序，使得在其他CAD软件中建立的模型可以很方便的导入ANSYS中，一旦模型成功导入后，就可以像在ANSYS中创建的模型那样对此模型进行求解运算。这些接口程序是由ANSYS公司或CAD供应商编写的软件。
其中值得注意的是ANSYS-Pro/ENGINEER接口，因为它提供了以执行部件为基础的参数化优化设计的功能。该功能允许由部件为基础的参数化Pro/ENGINEER模型开始，用ANSYS程序对其进行优化，并以一个优化的Pro/ENGINEER模型结束，且仍是以部件为基础的参数化模型。
4.7.1减速器三维实体模型的建立
进行有限元分析前首先必须建立减速器的三维实体模型。虽然ANSYS在有限元分析方面具有强大的功能，但是在三维实体建模方面并不比专业的CAD软件占有优势。对于复杂的实体模型，甚至需借助其它软件才能完成。
工程用三维实体建模软件主要有Pro/ENGINEER、Ideas、UG等。其中美国PTC公司开发的Pro/ENGINEER是世界上第一个基于特征的参数化实体建模软件，其在三维建模、尤其是复杂曲面的造型方面处于国际领先水平。考虑到圆柱正弦活齿减速器中，主动轴及壳体等零件的实体特征比较复杂，因此本文采用Pro/ENGINEER对减速器进行三维实体建模。
在进行有限元分析时，我们将螺栓、端盖等辅助零件予以忽略，而只关注与减速器工作直接相关的主动轴、活齿、导架和壳体等关键零件，据此建立减速器三维实体模型如图4-6所示。
4.7.2主动轴及导架的模态分析
在结构动力学分析中，模态分析用于确定所设计的结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型）。由于主动轴和导架动力学特性直接影响减速器的性能及寿命，所以应对主动轴、导架进行模态分析，确定其固有频率及振型，也为谱响应分析、随机振动分析创造条件。
零件模型采用IGES格式导入ANSYS，对于结构中含有复杂曲面的模型，Pro/E和ANSYS中定义的拓扑结构也不尽相同，若直接将在Pro/E中输出的IGES格式实体模型导入ANSYS，会致使网格划分耗费大量时间，甚至导致无法对模型划分网格。因此，本文在Pro/E中仅将模型的表面以IGES格式输出，在导入ANSYS后，应用VA命令将零件表面重新生成实体。值得注意的是，生成体之前，应采用AGLUE命令检查面与面交界的连续性，否则将不能成功生成实体模型。
拓扑修补后选择单元为solid45，指定杨氏模量为2.06×1011N/m2，密度为7800kg/m3，泊松比为0.3。对模型采用人工网格划分，利用LESIZE来控制网格密度，考虑到主动轴空间正弦滚道的结构特点，分割正弦滚道边界曲线和正弦滚道的三条拓扑线，并使线分割的密度相同。对于导架，分割活齿槽的直边，并使线分割的密度相同。
四面体单元每个节点有三个自由度（Tx,Ty,Tz)，通过限制节点的自由度，对模型施加约束。模拟轴承的作用，在安装轴承处的零件表面施加约束，首先将表面上所有节点的坐标由笛卡尔坐标（x,y,z）转换为柱坐标（R,θ,Z)，然后限制自由度R。并在主动轴的输入轴端面和导架的输出轴端面，限制所有节点的自由度。划分网格并施加约束的主动轴见图4-7。
选择Subspace特征值求解器，指定扩展模态数为4，频率范围为0～1000Hz。求得输入轴的前四阶固有频率为101.SHz、207.2Hz、660.6Hz、661.2Hz，对应的振型见图4-8。一阶振型为绕z轴扭转，二阶振型为沿z轴轴向拉伸，三阶振型为在xoz平面弯曲，四阶振型为在yoz平面弯曲。
同样划分网格并施加约束的输出轴见图4-9。求得输出轴的前四阶固有频率为82.2Hz、265.4Hz、386.2Hz、386.7比，对应的各振型见图4-10。一阶振型为绕z轴扭转，二阶振型为沿z轴轴向拉伸，三阶振型为在xoz平面弯曲，四阶振型为在yoz平面弯曲。
根据旋转轴转速与频率的关系：
n=60·f （4-24）
式中 n——转速（rpm）；
f——频率（Hz）。
将主动轴、导架的固有频率转化为临界转速，所得结果见表4-3。
表4-3 主动轴、导架的临界转速 （rpm）
| |
主动轴 |
导架 |
| 阶次 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 转速 |
6108 |
12432 |
39636 |
39672 |
4932 |
15924 |
23172 |
23202 |
输入轴和输出的工作转速分别为1440rpm和288rpm，从表4-3中可以看出，两轴的工作转速均大在低于临界转速。
4.8本章小结
1.将圆柱正弦活齿减速器的各个零件简化成相应的惯性元件和弹性元件，建立减速器的系统动力学模型：利用拉格朗日方程从系统能量的角度建立了减速器系统的动力学数学模型；并给出了活齿等效转动惯量、啮合副等效扭转刚度和轴类零件阻尼的计算公式；
2.根据建立的动力学模型，通过编程求解圆柱正弦活齿减速器系统的无阻尼自由振动方程，得到了该系统的固有频率、模态柔度和各阶振型等固有动态特性参数。结果表明，该减速器具有良好的动态特性；
3.根据所求的模态柔度和各弹性元件的势能分布率，找到了危险模态及导致危险的薄弱环节，为进一步改进其结桅杆，提高动态特性，提供了理论依据；
4.应用Pro/ENGINEER建立起减速器的三维实体模型，利用有限元分析软件ANSYS对样机中的关键件进行了模态分析。
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