第5章 基于灰色系统理论的多目标动态优化设计
5.1引言
随着生产和科学技术的高速发展，机械产品与设备逐渐向高速、高效、精密、轻量化和自动化方向发展，产品结构的日趋复杂，对其工作性能的要求越来越高。在现代机械设计中，为设计出高性能的机械产品，需对机械的结构、可靠性及动态特性等多方面性能进行综合评价。而传统的单一静态设计己经不能满足生产对机械产品动态性能的要求。因此，为使机械结构系统同时具有良好的静、动态特性，必须对其进行多目标动态优化设计。
对于复杂机械产品动态优化设计，人们力求采用数学规划法，即由计算机自动完成结构系统分析的优化过程，以便在设计阶段即可获得具有良好动态特性的设计方案。而其中关键性的问题是如何建立动态性能目标函数。因为从数学原理上看，机械结构振动系统的设计变量与其动态特性参数之间是一种高度非线性的映射关系，无法用一个简单的数学函数来表示，因此其目标函数很难建立。人工神经网络是一门近代发展的新兴学科,它具有极强的非线性映射功能，是一种描述和处理非线性关系的有力数学工具。因此，可以利用神经网络模型建立动态性能目标函数，实现机械系统设计变量与其动态特性参数之间的映射，解决动态性能目标函数难以建立的难题，这样就能够利用数学规划法自动地实现动态优化设计。
在多目标动态优化设计中，同时使几个分目标都达到最优值，一般来说是比较困难的。目标函数之间关系复杂，甚至相互矛盾，往往由于一个分目标的极小化而引起另一个或几个分目标的最优值变坏。也就是说，各分目标在求极小化过程中是相互矛盾的，所以人们只能求得一些满意解，绝对最优解一般是不存在的。而这些满意解中的任意两个解不一定能比较其优劣，因此多目标的解是半有序的。灰色聚类分析方法提供了寻求多目标优化问题的最满意解的一个有效途径，该方法比其他求解最满意解的方法更具有理论依据和合理性，且方法实用性强，满意程度可由欲望水平确定，能排列出满意解的优劣次序，为决策提供了更趋于实际的方法和依据。
根据以上思想，本文利用BP神经网络训练动态性能目标函数，并在此基础上，应用灰色聚类分析方法对圆柱正弦活齿减速器系统进行了多目标动态优化设计。利用该方法获得了具有良好静、动态特性的设计方案，较传统的多目标优化设计方法，得到进一步的优化。
5.2 BP神经网络
5.2.1 BP神经网络概述
BP神经网络是一单向传播的多层前向神经网络，网络除输入输出节点外，还有一层或多层的隐含层节点，输入信号从输入层节点依次传过隐含层节点，然后通过输出层节点输出。同层节点间没有任何耦合，故每层节点的输出只影响下一层节点的输出。每个节点表示单个神经元，隐含层萝点对应的传递函数常为sigmofd型函数，输出层节点对应的传递函数有时为线性。1987年RobertHecht-Nielson证明了对于任何在闭区间内的一个连续函数都可以用具有一个隐含层的BP网络来逼近，因而一个三层的BP网络可以完成任意的n维到m维的映射。常见的三层BP神经网络结构如图5-1所示，其最下层称为输入层，中间层称为隐含层，最上层称为输出层。
三层前馈型BP网络采用BP算法来调整网络连接权值和节点阈值。BP算法，即误差逆传播学习方法，是一种曲型的误差修正方法。BP算法是一个种有教师的学习算法，整个网络学习过程由信息的正向传动播和误差的反向传播两上阶段构成，在正向传播的过程中，输入信息从输入层经隐含层逐层处理，并传向输出层，如果不能在输出层得到期望的输出，则转入反向传播，运用梯度下降法连接权关于误差函数的导数沿原来的连接通路返回，通过修改各层的权值使得误差函数减小，直到达到收敛为止。神经网络练过程如图5-2所示。
5.2.2应用Matlab神经网络工具箱训练BP神经网络
Matlab神经网络工具箱是以人工神经网络理论为基础，用Matlab语言构造出典型神经网络的激活函数，使设计者对所选定网络输出的计算变成对激活函数的调用。另外，根据各种典型的修正网络权值的规则及网络的训练过程，在Matlab神经网络工具箱中编写好了各种网络设计与训练的子程序，设计者可根据自己的需要调用这些程序进行网络的训练，摆脱了每繁琐的编程过程，使精力全总值订中在问题的解决方法上，从而提高了工作效率和质量。应用Matlab神经网络工具箱进行BP神经网络训练，具体过程如下：
（1）用小的随机数对每一层的的权值wi和阈值bi初始化，以保证网络不被大的加权输入饱和，同时还要进行以下参数的设定或初始化：期望误差最小值err_goal、最大循环次数max_epoch、修正权值的学习速度lr等；
（2）计算网络各层输出矢量A1、A2，以及网络误差E
式中 A1——隐含层矢量；
A2——输出层矢量；
P——样本输入值；
T——样本输出值；
A——网络输出值。
（3）计算各层反向传播的误差变化D1、D2，并计算各层权值的修正值及新的权值：
（4）再次计算权值修正后的误差平方和：
SSE=sumsqr（T-pruelin（w2*tansig（w1*p，b1），b2）） （5-3）
（5）检查SSE是否小于err_goal，若是，则训练结束；否则继续。
5.3灰色系统理论
5.3.1灰数
只知道大概的范围而不知道其确切值的数叫做灰数。灰数并不是一个数，而是一个数的区间，记为
。设a为区间，ai为a中的数，如果灰数区间内取值，称ai为的一个可能白化值。为此，下列符号表示：
为一般灰数；
（ai）为以ai为白化值的灰数；
或（ai）是灰数的白化值，有时也用ai表示（ai）的白化数。
5.3.2白化权函数
属于某个区间的灰数，在该区间内取值时，如果每一个数的取值机会相等，那么这个灰数称之为纯灰数或绝对灰数，如深取值机会不相等，那么称这个灰数为相对灰数。由于任何一个（x）都是围绕某个x组成的，因此认为x在（x）中的地位最重要，权最大，而（x）中的其他值，则不一定是最重要的，权不一定都有一样大。如果用f(x）表示（x）上不同x的权，则称厂（x）为(x）的白化权函数。
设有如图5-3所示的白化权函数f(x),f(x）∈[0,l]，如果满足
(l)f(x)=L(x)，单调增，x∈（a,bl)
(2)f(x)=R(x)，单调降，x∈（b2，c)
(3)f(x)=max=1（峰值）,x∈［b1，b2］
则f(x）称为典型白化权函数，称L(x）为左增函数，R(x）为右降函数，称[b1，b2]为峰区。峰区表示灰量x的最佳程度，即权为1，称a为起点，c为终点，b1、b2为转折点，其值称为转折值或阈值。
白化权函数的确定，是指函数形状、函数起点和终点的确定。白化权函数的形状是指L(x）与R(x）的形状。当已知较少的信息时可建立直线型白化权函数。而当已知信息较多时可以选用曲线型白化权函数，曲线形式包括正态函数曲线、威布尔函数曲线、对数正态函数曲线等。
5.3.3灰色聚类
灰色聚类是建立在灰数的白化权函数生成的基础上。它将聚类对象对于不同的聚类指标所拥有的白化数，按几个灰类进行归纳，以判断该聚类对象属于那一类。
记I、Ⅱ、Ⅲ、…为聚类对象，i=1，2，…，n；
记l#、2＃、3＃、…为聚类指标，j=1，2，…，m；
记l、2、3、…为聚类灰类，即灰类，k=l,2，…，n1；
记dij，i=l,2，…，n，j=l,2，…，m，为第i个聚类对象对第j个聚类指标所拥有的白化数据（样本）；
记fjk（dij）,i=1,2,，…，n，j=1,2，…，m,k=l,2，…，n，为第j个指标对于第个k灰类的白化权函数。
5.3.4熟灰色聚类分析在多目标优化设计中的应用
多目标模糊优化问题是要求在优化设计的同时有多个指标达到满意值，其数学模型为
求x=(x1,x2，…，xn）T
使min f1（x)
min f2（x)
…
min fm（x）
s.t. gj（x）≤0（j=1，2，…，j）
对于式（5-4)，若存在x*使f1（x)，f2（x)，…，fm(x）全部达到最小，则称x*为理想解。在多目标优化设计中，由于目标函数间相互制约，往往得不到理想解，而满意解也不止一个，因此定义最接近理想解的满意解为最满意解。应用灰色聚类分析方法求解多目标优化设计中的最满意解，具体步骤如下所示：
1.求样本矩阵 设F1（x(1))λ，F2（x(2))λ，…，Fn（x(n))λ，为求得n组满意解，即
F1(x(1))λ=[f1(x(1))λ，f2(x(1))λ，…，fm(x(1))λ]
F2(x(2))λ=[f1(x(2))λ，f2(x(2))λ，…，fm(x(2))λ]
…
Fn(x(n))λ=[f1(x(n))λ，f2(x(n))λ，…，fm(x(n))λ]
简记F1(x(1))λ，F2(x(2))λ，…，Fn(x(n))λ为F1，F2，…，Fn，称集合F=[F1，F2，…，Fn]为对象集合，称F(x*)λ=[f*1λ，f*2λ，…，f*mλ，]为理想对象，f=[f1，f2，…，fm]为目标集合，则样本矩阵为
2.求转换样本矩阵 即象矩阵 由于指标不同，要求不同，因此有必要按上限效果测度、下限效果测度、中心效果测度来统一样本。当指标要求“越大越好”时，可用上限效果测度，记统一后的样本为dij，则有
当指标要求“越小越好”时，可用下限效果测度，即
当指标为适度的规格，即规格太高太低都不舍适时，采用中心效果测度，即
将样本转换后，得到转换后的样本矩阵
3.确定阈值及其矩阵 阈值即为转折点值，可按某种规则取得，也可按照经验或类比的方法获得，或直接从角矩阵中获得相对阈值，即在象矩阵中寻找最大、最小、中等阈值，方法如下：
如果认为灰类或评估类别取“1”、“2”、“3”三级合适，考虑综合评价权重的相对阈值的取值方法。由取矩阵
A=[ρ1d（max），ρ2d（mean），ρ3d″（min）] （5-11）
式中 一般取ρ1=0.80，ρ2=1.0，ρ3=1.20。
4.进行灰色聚类 对象矩阵进行聚类，聚类类别选为“1”、“2”、“3”三类时，其白化权函数分别与式（5-12）～（5-14）和图5-4对应。
①灰类∈[x2，∞]
②灰类∈[x1、x2、x3]
③灰类∈[0、x1、x2]
则第j个指标属于第k个灰类的标致定聚类权ηjk为
式中 λjk——fjk的阈值，与相应x1、x2、x3的对应。
所有指标的第i个聚类对象对于第k个灰类的聚类系数σik
将聚类系灵敏矩阵σ进行归一化处理得到归一化矩阵σc
5.求最满意解 设定
W=σc×AT=（W1，W2，…，Wn）T （5-17）
W1，W2，…，Wn分别对应F1，F2，…，Fn的综合评分值，值最大者为最满意解。
求解多目标优化问题最满意解的程序框图如图5-5所示。
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