5.4减速器的多目标动态优化设计
5.4.1设计变量
根据圆柱正弦活齿减速器的结构和优化的目标来确定设计变量，有关设计变量共为7个，分别为：主动轴参与啮合轴段半径rl、活齿半径r、导架参与啮合轴段壁厚b2、滚道深度b、空间正弦轨迹曲线幅值A、主动轴参与啮合轴段轴长l1、导架参与啮合轴段轴长l2。则设计变量为
x=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]=［r1，r，b2，b，A，l1，l2] （5-18）
各设计变量的含义见图5-6。
5.4.2目标函数
5.4.2.1分目标函数的确定本课题研究的目的是为设计出结构紧凑、径向尺寸小、传动效率高、可靠性高、动态性能好的新型圆柱正弦活齿减速器，并以此为依据来确定多目标优化设计的目标函数。
为使设计出的减速器适应工况要求，在传动比一定，满足传递扭矩的前提下，减速器的径向尺寸V应尽量减小，因此首先将减速器的径向尺寸最小科：为多目标优化的目标函数之一。即
f1（x）=min（V）=min（x1+2x2-x4） （5-19）
啮合副的滑动率U是影响齿轮传动效率的一个重要因素，为降低啮合副间的磨损，提高传动效率，将滑动率最小也作为多目标优化中的目标函数之一。即
f2（x）=min（U） （5-20）
接触副间的疲劳点蚀是传动的主要失效形式，为了提高传动的可靠性，提高工作寿命，将活齿传动接触强度的可靠性最大作为目标函数之一。在圆柱正弦活齿传动中，活齿分别与主动轴、导架、壳体接触，各啮合副接触强度的可靠性分别为Rl,R2,R3，则选取三者中可靠性最低的接触副作为优化目标R，即R=min{Rl,R2,R3}，并使R的可靠度达到极大值，为使各目标函数统一目际测度，故选取目标函数为使三者中可靠性最低的接触副的失效率最低，也即
f3（x）=min（1-R）=min（1-min{Rl,R2,R3}） （5-21）
为使减速器系统具有良好的动态性能，应使系统各阶模态柔度比较均匀，特别是危险模态的动柔度要尽可能小，设减速器系统的各阶模态柔度值为Ai（i=1,2,3)，通常可将这三阶的模态柔度值作为分目标函数，由于减速器的二阶模态柔度较其它阶的值要大得多，所以仅取max{A1}作为目标函数，并使其达到极小值，也即分目标函数为
f4（x）=min（max{A1，A2，A3}） （5-22）
为满足各阶模态柔度尽可能均匀的要求，可建立另一分目标函数为
式中Av——三阶模态柔度的均值（rad·（N·mm）-1）
综上所述，为设计出高性能的圆柱正弦活齿减速器，需对其进行多目标动态优化设计，优化目标为使减速器体积、啮合副间滑动率、危险模态的动柔度达到极小值，啮合副接触强度的可靠度达到极大值，并使系统各阶模态柔度尽可能均匀。由此可见，分目标函数共为5个：
f={f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），f5（x）} （5-24）
5.4.2.2神经网络训练样本和权值的确定
在圆柱正弦活齿减速器的多目标优化设计中，优化目标f4（x）、f5（x）的函数值是经过系统动态分析直接得到的，体现了机械结构振动系统的设计变量与其动态特性参数之间的关系，是一种高度非线性的映射关系，因此无法用一个简单的数学函数来表示。本文采用神经网络实现机械系统设计变量与其动态特性参数之间的映射，并利用该神经网络模型建立新的分目标函数f4′（x）、f5′（x）。为了能够提供训练样本，在第4章我们建立了圆柱正弦活齿减速器的动力学分析模型，并对其进行了动态特性分析，具体步骤这里不再赘述。分别利用神经网络对优化目标函数f4(x）、f5（x）进行函数逼近，现以f4（x）为例说明神经网络建立和训练的过程。
将上述的设计变量作为BP向络的输入量，代入计算f4（x）的程序中得到最大模态柔度值作为网络的教师样本，通过不断改变设计变量的值可以得到多组设计变量与最大模态柔度值之间映射的样本，在这里选取38组映射作为神经网络训练样本。由于系统有7个设计变量，因此可以建立一个输入层7个节点，隐含层7个节点，输出层1个节点的三层BP神经网络模型。有了训练样本和网络模型后，就可以利用Matlab中的神经网络工具箱进行训练，以便得到设计变量与最大模态柔度之间的精确映射关系。
进行动态优化时，若要建立起目标函数，首先要获得一组能够精确计算f4（x）的权值，这就需要通过样本训练BP神经网络，当误差精度达到要求时，训练停止，并得到了该组权值，利用该组权值与设计变量通过三层BP网络可以计算出训练后的分目标函数值f4（x）。在训练神经网络时，学习速率取为0.01，动量常数取为0.9，目标误差取为l×10-16。当训练结束时，网络输出值与样本目标值之间的误差均方根值为8.8386×l0-17（见图5-7)，训练过程误差的变化情况及训练完成后网络输出值与样本目标值对比情况如图5-8所示。
以同样的方法对f5（x）进行神经网络训练，目标误差取为1×10-6，网络输出值与样本目标值之间的误差均方根值为9.7271×10-7（见图5-9），训练过程误差变化情况及训练完成后网络输出值与样本目标值对比情况如图5-10所示。
在建立神经网络模型过程中，需要注意以下几方面的问题：
1.输入参数的选择 输入参数选择的正确与否是神经网络建模的关键，若输入参数太多，将会影响建模的效率，若输入不足，又会影响建模精度。本文经过对圆柱正弦活齿减速器各设计变量的仔细分析，选出其中的7个变量作为神经网络模型的输入参数。
2.训练样本的选择 如何在整个设计空间选择样本才能使建立起来的网络模型具有全局性，即解决样本泛化问题，是神经网络理论中一个有待深入研究的问题，它直接影响到神经网络模型的精度与实用性。本文在各设计变量允许的范围内，选取了38个训练样本。
3.隐层节点数的选择 选用隐层节点数的多少关系到网络建模的成败，隐层节点的数目与所选取的训练样本空间有关，隐层节点数太少，网络难以处理较夏杂的问题，并且会使网络建模误差增大，但若隐层节点数太多，将使网络训练时间急剧增加，又会影响训练速度。本文在训练神经网络过程中，经过反复尝试后认为选取7个隐层节点数时训练效果最好。
4.学习速率的选择 学习速率的大小对算法的收敛特性有很大的影响。若取值太大，会出现算法不收敛。若学习速率选择太小，会使训练过程时间大大增加，影响计算效率。一般选择为0.01～0.1，本文根据训练过程中梯度变化和均方误差变化值，选取学习速率为O.01。
5.4.3模糊约束条件
5.4.3.1约束条件的确定 考虑从完全许用到完全不许用的中介过渡过程，把活齿传动的接触强度和扭转刚度等性能约束，啮合角、不顶切条件等几何约束，各设计变量的上下限约束等的取值范围，均视为设计空间上的模糊子集，于是得到如下的约束条件：
(l）为避免活齿接触副间发生疲劳点蚀等失效形式，活齿啮合副间的接触应力应小于接触疲劳强度许用应力，其中各啮合副接触应力的计算公式见式(3-l)，即
(2）为保证传动轴在扭转时具有足够的强度，必须使其最大的工作剪应力，不超过材料的许用剪应力，在圆柱正弦活齿减速器的传动轴中，导架的空心轴段部分是最为薄弱的环节，则其扭转的强度条件应满足：
式中 T——输出扭矩（N·mm）；
Wn——抗扭截面系数Wn=π/16D（D4-d4）；
D——导架空心轴段部分外径（mm）；
d——导架空习轴段部分内径（mm）。
(3）一般机械设备中的传动轴除了要求具有足够的强度外，往往还要求其变形限制在一定的范围内，即要求传动轴要具有一定的刚度，也就是轴最大单位长度的扭转角不能超过轴单位长度许用扭转角，则导架扭转的刚度条件为：
式中 IP——截面极惯矩
GIP——抗扭刚度（N·m）。
(4）在设计圆柱正弦活齿传动的滚道的结构尺寸时，为保证接触副间正确的传力，需考虑在传递扭矩一定的前提下，滚道的深度应满足活齿啮合副间接触力的最大啮合角的限制，即
（5）为满足活齿传动正确连续传动的条件，正弦滚道齿形必须保证不发生顶切，即
（6）设计变量上下界约束为
5.4.3.2隶属函数及容差的确定 模糊约束的隶属函数，应根据约束的性质来具体确定，为简便计算，本文均采用线性嫦娥属函数，对于性能约束采用的隶属函数形式为
无论选择何种形式的隶属函数，都需要确定模糊过渡区间的上、下界。为此，首先需要确定过渡区间的容差。所谓容差，即为过渡区间的总长度，实际上就是约束限制的容许偏差。确定容差的方法有概率分析法、模糊综合评判法、扩增系数法等。前两种方法需要有足够的统计分析资料，工程中常用的是扩增系数法。扩增系数法是在充分考虑以往普通设计规范和设计经验的基础上，通过引入扩增系数β（包括上增扩系数
和下增扩系数β）来确定过渡区间上、下界的一种方法。
通常选取=1.05～1.30，β=0.7～0.95。
5.4.3.3最优水平截集的确定 采用最优水平截集法来实现从模糊优化模型向普通优化模型的转化。当我们规定某一隶属度λ（O≤λ≤1）值的时候，就由模糊集合分解出一个普通的集合，将模糊优化问题转化为普通优化问题处理；而一系列不同的λ的普通集合又对应一个模糊集合。因此，λ截集是沟通普通集合与模糊集合的桥梁。λ取值越大，设计结果越可靠，λ取值越小，设计结果越经济，所以在[O,l]区间内存在一个最佳的λ*值，使设计结果既经济又可靠，寻求最优λ*截集，是实现模糊优化设计向普通优化设计转化的关键。本文采用二级模糊综合评判的方法求解λ*，分别建立备择集、因素集、因素权重集、因素等级权重集，并确定评判数学模型，由此计算出最优置信水平λ*。
下面给出采用二级模糊综合评判法的具体步骤。
1.确定因素集 采用二级模糊综合评判确定最优水平值λ*。将模糊优化模型转化为最优水平截集上的常规优化模型。影响λ*取值的因素、因素等级及其隶属度见表5-1。隶属度可以采用模糊统计法或由专家打分法确定，本文采用专家打分法。
2.确定备择集 备择集是以评判者对评判对象可能做出的各种总的评价结果为元素组成的集合。本设计的评判对象是水平截集λ，其取值区间范围是[0,1]区间。根据设计条件及要求，分别以兄的各离散值作为评判对象，因此取备择集为
λ={0.30,0.40,0.50,0.60,0.65,0.70,0.75,0.80,0.85,0.90} (5-33)
3.确定因素权重集及因素等级权重集 不同的因素相对于评判对象的重要程度不同，为准确反映各因素及因素等级对评判对象λ的影响，应赋予各因素及因素等级相应的权重W和wi。在模糊综合评判过程中，权数的确定非常重要。根据各设计条件，确定因素权重集W为
W={0.25,0,30,0.20,0.10,0.10,0.05} (5-34)
表5-1影响因素等级及其隶属度
| 影响因素 |
因素等级 |
隶属度 |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| μ1设计水平 |
高 |
较高 |
一般 |
较低 |
低 |
1.0 |
0.8 |
0.3 |
0 |
0 |
| μ2制造水平 |
高 |
较高 |
一般 |
较低 |
低 |
1.0 |
0.7 |
0.5 |
0 |
0 |
| μ3材质好坏 |
好 |
较好 |
一般 |
较差 |
差 |
1.0 |
0.8 |
0.2 |
0 |
0 |
| μ4使用条件 |
好 |
较好 |
一般 |
较差 |
差 |
0 |
0 |
0.5 |
0.8 |
1.0 |
| μ5重要程度 |
不重要 |
不太重要 |
一般 |
较重要 |
重要 |
0 |
0 |
0.5 |
0.9 |
1.0 |
| μ6维修费用 |
少 |
较少 |
一般 |
较大 |
大 |
0 |
0 |
0.5 |
0.85 |
1.0 |
根据表5-1可分别计算得到各因素等级的权重集Wi
4.进行一级模糊综合评判 一级模糊综合评判即单因素评判，它通过综合一个因素的各个等级对评判对象取值的影响来处理因素的模糊性。根据各因素等级次序对评判对象λ的影响，确定各因素的等级评判矩阵Ri（i=1，2，…，6）。以μ1（设计水平）为例，其等级评判矩阵R1确定为
R1的含义为：当设计水平高时，λ截集水平取低值，表现为对评判对象λ的隶属度由大到小，即设计参数许用范围可稍大；反之，设计水平低，λ截集水平取高值。采用M（·,+）合成运算模型，分别对第i个因素作一级综合评判，该模型按照普通矩阵乘法计算，能保留一部有用信息，可以全面考虑各个因素的影响以及各单因素的评判结果，得一级模糊综合评判集Bi=WiоRi。由Bi（i=1，2，…，6）构成二级模糊综合评判矩阵R。以计算B1为例
B1=WiоR1=[b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，b9，b10]
=[0.757，0.814，0.786，0.681，0.538，0.381，0.243，0.138，0.043，0.014] （5-37）
5.进行二级模糊综合评判 进行二级模糊综合评判，首先确定综合模糊变换矩阵R
综合考虑各因素的影响，利用模糊变换矩阵，采用M（·，+）合成运算模型，得到二级模糊综合评判的总的评判结果为
B＝WоR=(0.591,0.654,0.674,0.651,0.583,0.502,0.407,0.314,0.231,0.183)
6.确定最终评判结果 采用加权平均法，取以bi为权数，对各个备择元素凡进行加权平均的值作为评判的结果，即
结合前面计算结果，利用式（5-39)，求出最优水平截集λ*=0.5875。从而将模糊优化问题转化为常规优化问题。
5.4.4基于灰色聚类分析的减速器多目标优化设计
在圆柱正弦活齿传动系统的多目标优化设计中，应用灰色聚类分析方法，在多个满意解之间求解出一个最满意解。因此，首先必须求解出几组多目标优化的满意解。由于选取满意解的出发点不同，从而导致不同的决策方法。在机械多目标优化设计中常用的解法有：主要目标法、理想点法、线性加权组合法、平方加权组合法、乘除法及功效系数法等。本文采用主要目标法求解多目标优化的满意解。
主要目标法即保留设计者认为最重要的目标函数，将其余的目标函数降为约束条件的方法。例如，若设f1（x）为主要目标，则优化数学模型变为
求x=（x1，x2，…，xn)T
使minf1（x) (5-40)
s.t gj（x）≤0（j=1，2，…，J）
gj（x）=[f1（x）-fi0]≤0 i=2，…，I
式中 fi0——原问题第i个目标函数的上限值（i=2，…，I）。
本文中分别以各分目标函数作为主要目标，将其它分目标函数作为约束条件，应用Matlab工程软件中的优化工具箱进行单目标优化，可分别得到5组优化设计的满意解，加上优化前的初选设计参数x=（20.5，4，3，2，4，24，64）T，则所有满意解圆整后如下所示
x（1）=（18，5，3，3，3，5，22，68）T
x（2）=（18.5，5，5，2，4，22，68）T
x（3）=（20.5，5，5，2，4，5，22，68）T
x（4）=（20.5，4，3，2，4，24，64）T
x（5）=（22，5，3，3，4，22，68）T
x（6）=（22.5，5，4，3，2，3.5，22，68）T
下面将利灰色聚类分析方法，在6组满意解中求解出一个最满意解。将每组满意解分别代入分目标函数中，得到样本矩阵为
转换样本矩阵，对所有目标采用下限效果测度，根据式（5-7）得到象矩阵为
根据式（5-10），在象矩阵中寻找最大、最小、中等的阈值，得到d（max）=1；d（mean）=0.7949；d″（min）=0.1704。因此取综合评价权重的相对阈值为A=（1.0，0.8，0.2）。
对象矩阵进行聚类，聚类类别选为“1”、“2”、“3”三类，其白化函九分别与式（5-12）～（5-14）和图5-4对应。现以f1为例，说明求得白化函数阈值的方法。对应象矩阵中的第一列，d（max）=1；d（mean）=0.917，取0.9，d（min）=0.8621，取0.86。因此，对于灰类1，有x1=0，x2=1；对于灰类2，有x1=0，x2=0.9，x3=2×x2=1.8；对于灰类3，有x1=0.86，x2=2×x1=1.72。同理可求出其余各分目标各类白化权的阈值，代入式（5-12）～（5-14）中求出各类白化权函数及其值。按式（5-15）求出标定聚类权矩阵η
将ηjk代入式（5-16），求出聚类系数矩阵σ
对σ进行归一化处理得到归一化矩阵σc
将数值代入式（5-17）中得到
W=（W1，W2，W3，W4，W5，W6）T
=（0.6453，0.6744，0.7073，0.6344，0.7032，0.6221）T （5-46）
由式（5-46）可见，W3=0.7037最大，则其对应的解为最满意解。也即
x*=(20.5,5,5,2,4.5,22,68）T
且满意解的优劣次序为F3，F5，F2，F1，F4，F6。
为了验证优化后的结构方案是否优于原设计方案，将优化前、后减速器静、动态特性指标作出对比如表5-2所示。
表5-2优化前后减速器性能对比
| |
径向尺寸(mm) |
主动轴接触强度可靠度 |
壳体接触强度可靠度 |
导架接触强度可靠度 |
| 优化前 |
26.5 |
0.9744 |
0.9781 |
0.9145 |
| 优化后 |
28.5 |
0.9992608 |
0.9999511 |
0.998002 |
| |
滑动率 |
最大模态柔度×10-6（rad/(N·mm)) |
模态柔度均度 |
基频(Hz) |
| 优化前 |
0.6341 |
1.78412 |
3.4316 |
644.357 |
| 优化后 |
0.6398 |
1.33922 |
3.1288 |
726.257 |
对表5-2分析可知，优化后的减速器设计方案除径向尺寸和滑动率两项指标外，其它性能指标均优越于优化前的设计方案，特别在可靠性和动态特性方面得到较大的优化。通过与原设计方案比较可以发现，减速器主动轴、导架及壳体接触疲劳强度的可靠度均有了很大的提高；系统的二阶危险模态柔度从l.78412×l0-6rad/（N·mm）降低到优化后的1.33922×l0-6rad／（N·mm)，模态柔度均度从3.4316降低到优化后的3.1288，说明各阶模态柔度的分布更为均匀。此外，优化后的系统基频有了很大的提高，由原来644.357Hz提高到726.257Hz，其激励频率为25Hz，可见，优化后结构的振动水平比原设计方案得到了相当大的改善。
5.5本章小结
1.基于BP神经网络的高度非线性映射功能，利用第4章所建立起来的动力学分析模型，获得了38组结构设计变量和对应的动态特性参数的神经网络训练样本，通过训练，建立起了能够实现结构设计变量与动态特性参数之间映射的三层BP神经网络模型，实现了圆柱正弦活齿减速器结构设计变量与其动态特性参数之间的映射关系。从而建立了多目标优化设计的动态分目标函数；
2.把模糊优化设计成功地应用到了圆柱正弦活齿减速器的优化设计中，充分考虑了约束条件的模糊性，使计算结果与实际结合得更紧密，更具有应用价值，采用最优水平截集进行优化设计，考虑了结构设计参数的各种影响因素，更充分的体现了经济性；
3.从圆柱正弦活齿减速器的结构及其静、动态特性出发建立子5个分目标函数，同时考虑强度、刚度及几何等约束条件，建立圆柱正弦活齿减速器多目标优化设计数学模型。利用灰钩聚类分析方法，最终得到多目标优化设计的最满意解。
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